• [解析] (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化 量为 • Δt＝5－3＝2， • 物体在t∈[3,5]内的位移变化量为 • Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝ Δ s 48 48 ， Δt ＝ 2 ＝24(m/s)． • ∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为
• (2) 求物体的初速度 v0 即求物体在 t ＝ 0 时的瞬时速 度． • ∵物体在t＝0附近的平均变化率为
3 3 (4 ＋ Δ t ) ＋ 3 － (4 ＋3) Δs (3)∵ ＝ Δt Δt
＝48＋12Δt＋(Δt)2， Δs ∴当 Δt 无限趋近于 0 时， 无限趋近于 48. Δt ∴v(4)＝48.
一、选择题 f(1＋Δx)－f(1) 1． 设函数 f(x)可导， 则 liΔm 等于( x→0 3Δx A．f′(1) 1 C.3f′(1) B．3f′(1) D．f′(3) )
第三：函数 f(x)在 x0 处可导，是指 Δx→0 时， Δx 有极 Δy 限．如果 不存在极限，就说函数在点 x0 处不可导，或说 Δx 无导数；
第四：f′(x0)的不同表达方式： y′|x ＝ x0 ＝ f′(x0) ＝ li x→ mx0 f(x0＋Δx)－f(x0) . Δx f(x)－f(x0) ＝ li Δm x→0 x－x0
• [分析] 已知函数f(x)在x＝a处的导数为A， 要求所给的极限值，必须将已给极限式转 化为导数的意义．
[解析]
f(a＋Δx)－f(a) (1)∵liΔm ＝A， x→0 Δx
f(a－Δx)－f(a) 则 liΔm x→0 Δx f[a＋(－Δx)]－f(a) ＝－liΔm ＝－A x→0 －Δx f(a＋Δx)－f(a－Δx) ∴liΔm x→0 Δx f(a＋Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－Δx) ＝liΔm x→0 Δx f(a＋Δx)－f(a) f(a)－f(a－Δx) ＝liΔm ＋liΔm x→0 x→0 Δx Δx
• 二、填空题 • 4 ． 自由 落体运 动在 t ＝ 4s 的 瞬 时速度 是 ________． • [答案] 39.2m/s
1 2 [解析] s＝ gt 2 1 1 2 2 g(t＋Δt) － gt 2 Δs 2 1 ＝ ＝gt＋ g·Δt Δt Δt 2 1 ＝4g＋2g·Δt. Δs 1 所以 v＝s′(t)＝liΔm t→0 Δt ＝liΔm t→0 (4g＋2gΔt) ＝4g≈4×9.8＝39.2(m/s)．
• • • • •
[例2] 求函数y＝x2在点x＝3处的导数． [分析] 利用导数定义求导． [解析] (1)求y在点x＝3处的增量． 取Δx≠0，Δy＝(3＋Δx)2－32＝6Δx＋(Δx)2. (2)算比值．
2 Δy 6Δx＋(Δx) ＝6＋Δx. Δx＝ Δx
Δy (3)Δx 趋近于 0 时，Δx趋近于 6. 因此 y 在点 x＝3 处的导数是 6.
(1)求函数 y＝ x在点 x＝1 处的导数； (2)求函数 y＝x2＋ax＋b 在点 x＝x0 处的导数．
[解析] (1)Δy＝ 1＋Δx－1，
1＋Δx－1 Δy 1 ＝ . Δx＝ Δx 1＋Δx＋1 liΔm x→0 1 1 1 ＝ ，所以 y′|x＝1＝ . 2 1＋Δx＋1 2
(2)y′|x＝x0 (x0＋Δx)2＋a(x0＋Δx)＋b－(x2 0＋ax0＋b) ＝liΔm x→0 Δx
＝liΔm x→0
2 2 x2 0＋2x0Δx＋(Δx) ＋ax0＋aΔx＋b－x0－ax0－b Δx
2x0Δx＋aΔx＋(Δx)2 ＝liΔm x→0 Δx ＝liΔm x→0 (2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.
[例 3]
若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求：
f(a＋Δx)－f(a－Δx) (1)liΔm ； x→0 Δx f(a＋4t)－f(a＋5t) (2)litm . →0 t
1 ＝(v0－gt0)Δt－ g(Δt)2， 2 Δs 1 Δs ∴ ＝v0－gt0－ gΔt，当 Δt→0 时， →v0－gt0. Δt 2 Δt 故物体在 t0 时刻的瞬时速度为 v0－gt0.
• 以初速度v0(v0＞0)竖直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝ v0t－ gt2，求物体在t0时刻的瞬时速度．
＝A＋A＝2A. f(a＋4t)－f(a＋5t) (2)litm →0 t f(a＋4t)－f(a)＋f(a)－f(a＋5t) ＝litm →0 t f(a＋4t)－f(a) f(a＋5t)－f(a) ＝4litm －5litm →0 →0 4t 5t ＝4A－5A＝－A.
• [点评] 概念是分析解决问题的重要依据， 只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内 涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题， 解决这类问题的关键是等价变形，使问题 转化．
Δs f(0＋Δt)－f(0) Δt ＝ Δt 29＋3[(0＋Δt)－3]2－29－3(0－3)2 ＝ ＝3Δt－18， Δt ∴物体在 t＝0 处的瞬时变化率为 Δs lim lim Δ t→初速度为－18m/s.
• (3)物体在t＝1时的瞬进速度即为函数在t＝1 处的瞬时变化率． • ∵物体在t＝1附近的平均变化率为
• • • • •
[例1] 已知自由落体的运动方程为s＝ gt2，求： (1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度； (2)落体在t0时的瞬时速度； (3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒这段时间内的平均速度； (4)落体在t＝2秒时的瞬时速度．
[分析]
平均速度 v 即平均变化率， 而瞬时速度即是平
(2)落体在 t0 时的瞬时速度为 1 v＝liΔm t→0 v ＝liΔm t→0 2g(2t0＋Δt)＝gt0. (3)落体在 t0＝2 秒到 t1＝2.1 秒时，其时间增量 Δt＝t1 1 － t0 ＝ 0.1 秒，由 (1) 知平均速度为 v ＝ 2 g(2×2 ＋ 0.1) ＝ 2.05g≈2.05×9.8＝20.09(米/秒)． (4) 由 (2) 知 落 体 在 t0 ＝ 2 秒 的 瞬 时 速 度 为 v ＝ g×2≈9.8×2＝19.6(米/秒)．
• 如果一个质点从固定点 A 开始运动，在时 间t的位移函数y＝s(t)＝t3＋3. • 求：(1)t＝4时，物体的位移s(4)； • (2)t＝2到t＝4的平均速度； • (3)t＝4时，物体的速度v(4)．
[解析] (1)s(4)＝43＋3＝67. (2)t＝2 到 t＝4 的平均速度为
3 3 Δs s(4)－s(2) 4 ＋3－2 －3 64－8 ＝ ＝ ＝ ＝28. Δt 2 2 4－2
Δs f(1＋Δt)－f(1) Δt ＝ Δt 29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3(1－3)2 ＝ ＝3Δt－12. Δt ∴物体在 t＝1 处的瞬时变化率为 Δs lim lim Δ t→0 Δt ＝Δ t→0 (3Δt－12)＝－12. 即物体在 t＝1 时的速度为－12m/s.
• [点评]
• [点评] 应注意区分平均速度与瞬时速度的 概念、瞬时速度是运动物体在t0到t0＋Δt这 一段时间内的平均速度当Δt→0时的极限， 即运动方程s＝f(t)在t＝t0时对时间t的导数．
[ 解析 ]
1 1 2 2 ∵Δs ＝v0(t0＋Δt)－2g(t0＋Δt) －v0t0－2gt0
－1 1 ＝ ＝－2， 1＋0· (1＋ 1＋0) 1 ∴f′(1)＝－ . 2
均速度 v 在 Δt→0 时的极限值，为此，要求瞬时速度，应 先求出平均速度，再求 v 当 Δt→0 时的极限值．
[解析]
(1)落体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内路程的增量为
1 1 2 2 Δs＝2g(t0＋Δt) －2gt0 因此，落体在这段时间内的平均速度为： 1 1 2 2 g(t ＋Δt) － gt0 2 Δs 2 0 1 Δt(2t0＋Δt) v＝ ＝ ＝ g· Δt Δt 2 Δt 1 ＝2g(2t0＋Δt)．
• 5．对于函数y＝x2，其导数等于原来的函数 值的点是______________． • [答案] (0,0)和(2,4)
[ 解 析 ] 2x·Δx＋(Δx)2 Δx ＝liΔm x→0 (2x＋Δx)＝2x. 令 2x＝x2，得 x＝0 或 x＝2，此时 y＝0 或 y＝4，即所 求点为(0,0)和(2,4)． y′ ＝ li Δm x→0 (x＋Δx)2－x2 ＝ li Δm x→0 Δx
2 3t ＋2 s＝ 2 29 ＋ 3( t － 3)
(t≥3) ① . (0≤t<3) ②
• 求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度； • (2)物体的初速度v0； • (3)物体在t＝1时的瞬时速度．
• [分析] 由题目可获取以下主要信息： • ①物体的运动方程已知； • ②求物体在某一时间段的平均速度和物体 在某一时刻的瞬时速度． • 解答本题可先根据要求的问题选好使用的 函数解析式，再根据求平均变化率和瞬时 变化率的方法求解平均速度和瞬时速度．
• [答案] C
[解析] f(1＋Δx)－f(1) 1 1 原式＝3liΔm ＝3f′(1)． x→0 Δx
• 2 ． 设 f(x) ＝ ax ＋ 4 ， 若 f′(1) ＝ 2 ， 则 a 等 于 ( ) • A．2 B．－2 • C．3 D．－3 • [答案] A
f(x)－f(1) [解析] f′(1)＝lixm ＝lixm →1 →1a＝a＝2. x－1
• [点评] 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法． • 由导数的意义可知，求函数y＝f(x)在点x0处的导数 的方法是：
(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy f(x0＋Δx)－f(x0) (2)求平均变化率 ＝ ； Δx Δx Δy (3)Δx 趋近于 0 时，若Δx趋近于一个常数，则这个常 数就是函数在该点处的导数．
•
1．1.2 导数的概念