第11卷第1期 数 学 教 育 学 报Vol.11, No.12002年2月JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATIONFeb., 2002收稿日期：2001–09–19基金项目：教育部高等学校教学研究中心项目，高师学科教育课程的理论与实践研究，（C270） 作者简介：綦春霞（1966—），女，博士，北京师范大学副教授、硕士生导师，主要从事数学教育、数学课程比较的研究．数学认识论的历史及其发展趋势綦春霞（北京师范大学 教科所，北京 100875）摘要：从数学基础研究的角度看，数学认识论的发展经历了从数学基础主义的“确证”观到庞加莱、皮亚杰等人的数学的“发现”的认识观，直至数学社会学理论中所强调的“确证”与“发现”相结合的数学认识观．数学观有由“绝对主义”向“可误主义”或“拟经验主义”转变的发展趋势．关键词：数学基础；数学认识论；发展趋势中图分类号：G40–032 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2002）01–0028–04认识论是哲学的核心和统率，在认识论发展的历程中，由于人们把认识论与心理学、社会学和历史科学区别开来进行研究[1]，因此，便导致了认识论中的“确证”和认识论中的“发现”的区别．随着研究的深入，人们从研究知识本身（结构、关系、组成等）转向研究知识外部（获得知识的社会、历史文化过程）．这样社会认识论、意义认识论便应运而生，使人们的视野进一步扩大．而认识论中的“确证”与“发现”也由分离而逐渐走向融合．追随着认识论的发展，数学认识论也是经历了“确证”、“发现”直至相融的过程．相对于认识论中的“确证”，数学基础主义采用一种“反心理”的演绎观点进行刻画．相对于认识论中的“发现”，庞加莱认识论中的心理学主义、狄厄多内结构认识论中的心理主义，皮亚杰发生认识论和历史批判的方法都给出了很好的佐证．数学认识论中的社会观点，包括维特根斯坦和拉卡托斯等人的数学社会学理论，则是强调数学中的“确证”与“发现”的结合．1 认识论中的“确证”与数学哲学中的基础主义20世纪前半叶，数学一直被作为一种“绝对真理”[2]，而数学认识论是“确证”的认识论．“确证”是指这样一个事实：X 是得到确证的，仅当它能够通过一些理由来进行证明．数学哲学中的认识论的“确证”方法是属于基础主义的．我们可以借助于分析各学派的论点来加以说明．1.1 数学基础主义的三派及其主张逻辑主义是把纯数学作为逻辑基本构成成分的，它有2点假设：①所有数学概念最终都可以归结为逻辑概念；②所有数学真理都可以单凭公理和逻辑推演规则得到证明．形式主义认为数学本身就是一堆形式系统，各自建立自己的逻辑，同时建立自己的数学．它有2点假设：①纯数学可表示为不予解释的形式系统，在此系统中数学真理由形式定理来表现；②可用元数学的方法，借助摆脱不相容性来证实形式系统的可靠性．直觉主义或构造主义主张，数学真理和数学对象的存在性这两者都必须由构造方法加以确定，直觉主义有2种不同的主张：①正面阐述：构造数学和逻辑运算的直觉主义方法是协调的和合理的，直觉主义数学形成人们可以理解的理论实体；②反面阐述：建立数学概念和逻辑运算的经典方式是不协调的和不合理的，在扭曲形式下的经典数学显然具有相当价值，但却是不可理解的．以上3派都试图从不同的角度来验证数学知识的绝对性，是一种绝对主义的数学哲学观．1.2 对数学绝对主义的批判对逻辑主义的批判，首先是针对其2个观点正确与否来展开的．罗素等人在试图证明观点时都失败了，即并非所有数学真理都能单纯从逻辑公理中导出．其次，逻辑主义的假设否第1期綦春霞：数学认识论的历史及其发展趋势29定了形式主义．哥德尔不完备定理表明演绎证明对论证所有数学真理是不够的．再次是对逻辑的确定性和可靠性的质疑，主要是针对逻辑是未经验证和未经判定的假设．对形式主义的批判是借助于哥德尔不完备性理论进行的．哥德尔的第一个定理证明了不是所有的算术真理都能由皮亚诺公理导出．第二个不完备性定理证明了对所要研究的系统而言，证明其相容性需要比维持系统的“自我完善”更强的元数学，所以也就根本无所谓系统的“自我完整”可言．这样，形式主义的2个论点都被驳倒．它无法对数学真理的绝对主义观提供理论支持．对直觉主义的批判主要来源于对经典数学和构造性数学的矛盾与冲突．一个问题是构造主义者没有证实经典数学的非协调性和非真实性，另一个问题是它的有些结果与经典数学不一致．例如构造主义的概念常与相应的经典概念涵义不同．从认识论上讲，直觉主义的正面论点和反面论点都有缺陷[2]，都无法为数学知识的真理性提供有力证据．由此可见，以上3大学派在试图建立数学真理的绝对必然性上均以失败而告终．但这一事实并不说明数学知识不可靠是一般定论，人们可能会找到其它根据来断言数学真理的可靠性．但事实上，这种假定是错误的．拉贾特斯等人[3]对数学的绝对真理观进行了反驳，提出了数学的可误主义观．2 数学中的可误主义与认识论中的发现和拟经验主义数学可误主义观是对数学绝对主义观的否定．这种观点认为，数学知识是可以纠正的且永远要接受更正．数学知识是被创造、被发现的，数学的认识是拟经验的．庞加莱、狄厄多内、拉卡托斯等人给出了很好的例证．2.1 数学认识中的发现强调数学认识中的发现，并从心理的角度进行分析，最早可追溯到庞加莱．他用“内省法”对数学创造发明活动进行了心理分析．在他的论文《数学上的创造》[4]中，提出“发现”或“发明”（庞加莱不是柏拉图主义者）是值得研究的，因为它反映了个体在数学活动中产生错误的原因过程．他认为数学家一刹那所产生的灵感，在用逻辑进行验证时可能是错误的．因此，在数学定理的构造时，直觉和逻辑、无意识和有意识是相互作用和相互结合的：一个是用于数学的发明过程，另一个是用于对其发明过程进行证明．他的观点得到其他许多学者的赞同[5]，如巴切拉德指出寻求“科学过程中的心理状态”，皮亚杰强调数学知识认识中的创造性和构建过程．这种重“心理”、重“发现”的思想，在狄厄多内那里得到了发展．其主要有如下观点：①强调演绎公理化方法．他认为数学公理体系在数学演变中起着重要的作用，它有助于数学知识的重建，有助于理解和直觉的发展；②数学“确证”的局限性．狄厄多内指出，把“确证”当成数学产生的过程是不可能的．数学的认识是与其实际意义相联的．如一元二次方程各种不同解的获得；线性代数是因分析几何、分析和结构语言相互作用的辩证发展才得以产生和发展的．作为一位布尔巴基的奠基人，狄厄多内把数学视为一整体结构．而在建构这个结构的过程中，需要创造性的工作，而不仅仅局限于对数学进行证明和解释．如庞加莱一样，狄厄多内更多的是关注“发现”，而不是“确证”．他把数学知识的价值看得非常简单；一个真正的论述是已证明的论述，尽管严格的证明只能通过公理理论进行．但评价数学工作的标准不可避免是主观的．事实上，许多人认为数学更像艺术而不是科学．2.2 数学认识中的拟经验观1965年，卡尔马曾提出：“数学基础—今向何方？”他认为数学并不是一门纯粹演绎的科学，而是一门经验的科学．所谓公理、元数学方法都是基于经验事实的．他并不排斥数学中应用演绎法和归纳法，他认为数学的定理是将来要修改的相对真理．数学中有些真理可以直接检验而有些则只能间接检验．数学经验主义受到了当代著名科学哲学家拉卡托斯的支持，他提出了“拟经验主义”的学说，主要有5个论点：（1）数学知识是可误的；（2）数学是假设—演绎的；（3）数学历30 数学教育学报第11卷史是重要的；（4）强调非形式数学的重要性；（5）强调知识创造理论．据此，拉卡托斯认为数学本质不是纯粹理性的逻辑推演，它是通过归纳的方法构筑在经验基础上的一门“拟经验科学”．在数学的发展史上，尽管其概念的应用或许曾出现过这样和那样的错误，但在大众的眼里，数学以其确定性、真理性而著称．因此，许多数学家并不赞同拉卡托斯“拟经验”的观点，并指出了拟经验观的许多缺陷．在总结各种观点的基础上，Ernest指出了拉卡托斯拟经验观的几点不足[2]，如认为它没有解释数学的可靠性，没有论述数学对象或其发生的本质，没有阐述它在其它领域中的应用，没有数学史的本质，没有为建立数学知识提供重要的哲学基础．由此可见，拉卡托斯的数学哲学远非是一个完整的体系．但其主要缺点是遗漏的过失而不是整体的错误，需要对其中的疏漏作出弥补，发展系统的拟经验主义理论．尽管拟经验主义有这样或那样的不足，但对数学教育而言，却有不少启示．简单来讲，数学既被当作是一种知识的特定体系，是一种作为适合所有学校学生和那些进入高校数学专业学生学习的内容，又被看作是一种特定的称之为数学化活动，包括模式识别、一般化以及证明等．后者是把数学知识作为一种通过数学化而发展的经验体．数学课程大纲、标准和教材所体现的是数学特定的知识体，而数学教学中则强调数学的实践．20世纪70年代以后学校课程中的“问题解决”，就是这种在数学中强调数学实践、强调做数学理论的体现．美国的《2000年数学课程标准》、日本的新的修订大纲、中国新颁布的《义务教育国家数学课程标准》等都强调了“应用数学”、“问题解决”和“动手实践”等方面的内容．这也是数学经验主义复兴的一种表现．由以上分析可知，绝对主义和可误主义观在对数学知识的态度、数学知识与其他领域中人类知识和经验关系、数学知识的价值等方面存在着截然相反的观点．具体来讲有：（1）可误主义观注重知识的发生和人类对创造知识的贡献．而绝对主义却否认这一点，它注重静态的知识，以及知识的基础和判定，把知识发生的问题归结为心理学和社会科学．历史的发展表明，任何学科都永远处于变化状态中，如果认识论仅注重单一静态的知识形式，而忽略知识发展的动态，那么它就不能恰当地解释知识．（2）数学与其它知识领域学科间的关系．绝对主义视数学为独立于其生长、发展环境的学科．它只靠严格的证明，与历史知识发生以及人类环境条件无关．相反，可误主义则视数学与人类整体知识结构相联系且是其不可分割的组成部分．由于把数学看作是可误的，因此注重数学知识的发生过程，把数学看作是历史及人类实践的组成部分．（3）数学知识的价值．绝对主义认为数学是客观存在的，无所谓价值，是一种价值中立观．而可误主义认为数学是人类文化的组成部分，充满着人性价值，这些价值在数学应用和发展中起着重要的作用．绝对主义和可误主义之间的不可调和的矛盾，促使数学哲学家重新审视数学哲学中的问题，可误主义是在否定绝对主义的基础上产生的，但它本身无法证明其自身的观点（如对拉卡托斯拟经验观的批判）．在综合各数学观的基础上，许多学者[2]提出了数学哲学中的社会建构主义观．将数学绝对主义的“确证”和“拟经验”结合了起来．3 数学中的社会建构主义社会建构主义吸收了“确证”的思想，承认人类知识、规则和约定对数学真理的确定起着关键的作用，同时，它汲取了拟经验主义的可误主义认识论，即数学知识和概念是发展和变化的思想．视数学知识为社会建构的缘由有3个：①数学知识的基础是语言知识、约定和规则，而语言是靠社会来建构的；②个人的数学知识转化成他人接受的客观数学知识，是需要人际交往的社会过程；③数学客观性本身应理解为是社会的．社会建构主义的核心是数学知识的生成，而新产生的知识既可以是主观知识，也可以是客观知识，社会建构主义的独特之处在于其综合考察数学的主观知识和客观知识，将主客观第1期 綦春霞：数学认识论的历史及其发展趋势 31知识置入一个大循环系统中．如图1所示[2]：个人领域方面的主观知识与社会领域方面的客观知识之间是相互牵制，又相互促进的．而且这2种知识的转化过程和结合的过程正是反映了数学认识论中的二重性——“发现”与“确证”．持同样观点的还有瑞斯特维[6]等人．瑞斯特维尤其强调数学知识及其发展中的社会方面的因素．如说明在不同社会中数学发展的不同形态等．他的这种研究是针对数学研究中的“绝对真理”，并用实例说明数学中强烈的社会性．总之，社会建构主义是强调数学知识中的社会方面，强调主客观知识之间的关系．由于它是一种20世纪80年代才兴起的哲学思潮，许多观点还是尝试性的，因而对其理论的责难也是难免的．数学的社会建构主义是一种试图将数学哲学、历史、社会学和心理学融为一体的综合数学理论．纵观数学发展历程中数学观的变化，从远古的经验性的数学观到后来柏拉图、欧几里得乃至近代的演绎的理性的数学观，到现代的数学中的经验主义的复兴与经验和演绎的结合，无不雄辩地说明了认识中否定之否定的发展规律．由此我们可以看出数学认识论的变化趋势：第一，由严重的与实际分离转移到了与实际数学活动的密切结合；第二，在研究方式上，由封闭式的研究转向开放式的研究，如注意从历史、社会和心理学等角度揭示数学活动的性质；第三，基本观念发生了革命性的变化，由“绝对主义”的数学观转移到了“可误主义”或“拟经验主义”的数学观． 参考文献：[1] 梁贯成．中国传统的数学观和教育观对新世纪数学教育的启示[J]．数学教育学报，2001，10（3）：5．[2] [英]Paul Ernest ．数学教育哲学[M]．齐建华译．上海：上海教育出版社，1998．1–103．[3] Alan J Bishop. International Handbook of Mathematics Education[M]. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996. 831–841.[4] 庞加莱．数学上的创造[J]．数学译林，1986，5（3）：70．[5] Piaget J, Garcia R. Psychogenesis and the History of Science[M]. New York: Columbia University Press, 1989. 90.[6] Davis P J, Hersh R. The Mathematical Experience[M]. Boston: Birkhauser, 1980. 408–409.History and Trend of Mathematics EpistemologyQI Chun-xia(Institute of Educational Research, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)Abstract: View from the foundation of mathematics, this article analyzed the process of mathematics epistemology: the context of Justification in foundationalism of mathematics; Poincar éand etc' Discovery view; sociological view of mathematics that drawing together the contexts of Justification and of Discovery. And outline the epistemologies of mathematics trended from absolutism to semi-experiences. Key words: foundation of mathematics; mathematics epistemology; trends[责任编校：陈汉君]社会议定过程新知识。