行列式与矩阵幂迹的代数关系计算]det[xB A +的公式 （1）递归推导法：∑=+=ii i x C xB A w ]det[]det[...]det[)(]det[)(]det[]det[)()ln (]det[21)(ln )(ln w v v w w v w ww w w w w tr tr tr tr e tr e x x x tr x tr x x +∂=∂=∂=∂=∂=∂-001)](det[]det[)(!==+∂=∂=x i x x n x i tr i C v w w ...2)()()()()()(3111111111122111vww ww ww w w ww ww w w ww w w w w v v w w ww w w v -=∂∂∂-∂∂-∂=∂∂∂+∂∂∂=∂-=∂-∂=∂∂=∂-------------x x x x x x x x x x x x x x x x x x)()1)..(1)(()(n m mn x tr n m m m tr ++-----=∂v v ()mx m nm m n m n x x i x i iii tr tr tr n m m m tr m tr tr i C x C x )()()()1)..(1)(()()(1)(!det ]det[100B A v vv v v AB A -=+==+-----=-=∂+∂==+∑ （2）直接展开法∑∏∑∑∏∑∑∏∑∑∏∑∏∑∑∏∑∑∑∑∑=-+∞==+∞==∞===∞==∞=+=∞=+--∑-=+∑-=∑=∑==∑=≡-=-=+=++≡+=+=+njm m m i m i m i n nnjm m m i m i m i n nnjm m i m i n n m i m i jm m i im m i m m m m i im m i mi i i m m i i i i m i i i i jj i iiii jj i ii ii jj i iii i i jji i i i i i i i i i m tr xx i m tr xm P x m P x m x P m x P P x m i tr x m i tr x x tr x x x x x },{)1(0},{)1(0},{0}{}{0},{1011011!)))((()1(]det[]det[!))(()1(!!!!)(!1))()1((!1))()1(exp())ln(exp(]det[]det[det ]det[det ]det[det ]det[B A A B A D D D D δD δD δA B A δA B A δA B A 111按照分配....}!6/)()!42/()()!2!22/()()()!32/()()!33/()()23/()!23/()()!24/()()24/(5/6/{}!5/)()!32/()()!22/()()()!23/()()23/(4/5/{}!4/)()!22/()()!22/()(3/4/{})(32{6)}(){(21]det[614222223321331123223124112415166513222221231123141554122222131443233222++-+-+-+-++-+++++--++-++-++-+-++=+trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD x trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD x trD trD trD trD trD trD trD x trD trD trD trD x D tr trD x xtrD x D δ可以在∞→x 极限下，寻找D det 的关系DC C x Cx Dx xD n ni nnii n det det )det(,n 0=→→+∑=δ有阶矩阵对于对1阶矩阵 D trD D ==det 对2阶矩阵)}(){(21detD 22D tr trD -=对3阶矩阵！3)(23detD 323trD trD trD trD +-= 对4阶矩阵!4/)()!22/()()!22/()(3/4/detD 41222221314trD trD trD trD trD trD trD +-++-=对5阶矩阵!5/)()!32/()()!22/()()()!23/()()23/(4/5/det 5132222212311231415trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD D ++++--=对6阶矩阵!6/)()!42/()()!2!22/()()()!32/()()!33/()()23/()!23/()()!24/()()24/(5/6/det 61422222332133112322312411241516trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD D +-+-+-+-++-=由于n 阶矩阵展开式]det[xD +δ最高项是n 次项，因此n i C i >=,0，即对于1 阶矩阵)}(){(2122D tr trD -=0，03)(23323=+-！trD trD trD trD ， 0!4/)()!22/()()!22/()(3/4/41222221314=+-++-trD trD trD trD trD trD trD ，!5/)()!32/()()!22/()()()!23/()()23/(4/5/5132222212311231415=++++--trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD ，!6/)()!42/()()!2!22/()()()!32/()()!33/()()23/()!23/()()!24/()()24/(5/6/61422222332133112322312411241516=+-+-+-+-++-trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD ，等 由于mmD trD =也就是说，各系数和为0；对于2阶矩阵03)(23323=+-！trD trD trD trD ，0!4/)()!22/()()!22/()(3/4/41222221314=+-++-trD trD trD trD trD trD trD ，!5/)()!32/()()!22/()()()!23/()()23/(4/5/5132222212311231415=++++--trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD ，!6/)()!42/()()!2!22/()()()!32/()()!33/()()23/()!23/()()!24/()()24/(5/6/61422222332133112322312411241516=+-+-+-+-++-trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD ，等等 对于3阶矩阵0!4/)()!22/()()!22/()(3/4/41222221314=+-++-trD trD trD trD trD trD trD ，!5/)()!32/()()!22/()()()!23/()()23/(4/5/5132222212311231415=++++--trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD ，!6/)()!42/()()!2!22/()()()!32/()()!33/()()23/()!23/()()!24/()()24/(5/6/61422222332133112322312411241516=+-+-+-+-++-trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD 等等 对于4阶矩阵!5/)()!32/()()!22/()()()!23/()()23/(4/5/5132222212311231415=++++--trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD ，!6/)()!42/()()!2!22/()()()!32/()()!33/()()23/()!23/()()!24/()()24/(5/6/61422222332133112322312411241516=+-+-+-+-++-trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD trD 等等。