当y是xi的线性函数时，两种求法的结果相同；当 y是xi的非线性函数时，第一种求法较好。
• 对于测得值来说，最佳值应是修正了已识别的系
统效应和剔除了异常值的平均值。
• 求被测量的最佳值，主要是为了报告测量结果（=
最佳值±不确定度）和构成相对不确定度（相对 不确定度等于不确定度除以最佳值的绝对值，当 然，最佳值不能为零）。
2.不确定度报告的形式
（1）合成不确定度 合成不确定度主要用于：
• 计量学基础研究； • 基本常数的测量； • 复现国际单位制单位的国际比对。
当不确定度的报告以合成不确定度表述时，测量结果可 选用下列4种形式之一：
3.列出各不确定度分量的表达式
• 根据数学模型可列出各不确定度分量的表达式 • 式中 称为不确定度传播系数或灵敏系数。
4.不确定度的A类评定
• 若对随机变量Xi在相同条件下进行n次独立测量，所得
值为Xik（k=1,2，…n），则Xi的最佳估计值为
• 其标准不确定度（最佳值的标准差）为 • 式中，S（xik）是样本标准差：
的评估方法，必要时还应给出相应的自由度；
• 给出相关输入量（如有）的协方差或相关系数及
其获得方法；
• 给出合成不确定度与扩展不确定度的评估方法，
必要时给出相应的自由度；
• 给出评估过程中所使用的全部修正量、常数的来
源及其不确定度；
• 给出数据分析处理的具体方法，以使其每个重要
步骤易于效仿，必要时能单独重复计算所报告的 结果。
6.测量不确定度的合成
• 当测量不确定度有若干个分量时，则总不确定度应由
所有各分量（A类与B类）来合成，并称其为合成不 确定度。合成不确定度，即合成标准差，是合成方差 的平方根。
• 合成不确定度可表示为：
7.扩展（范围）不确定度
为满足医疗卫生、安全防护、法制以及工商等领域的需要 ，可将合成不确定度uc乘以包含（覆盖、范围）因子k，以 给测量不确定度一个较高置信概率的置信区间，从而得到 扩展不确定度：
于是
其中，n-1=v，称为自由度。
自由度：在数理统计中，系指独立的随机变量的数 目；在测量中，则指测得值的数目减去待求量的数 目。
得出u（xi）之后，再求出其传播系数，便可得出y的 不确定度的分量：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5.不确定度的B类评估 随机变量Xj的估计值xj不是由重复观测得出，则相 应的标准不确定度u（xj）便应根据可能引起变化的 所有信息来判断、估算。 可用的信息一般包括：
• 对于一般的检测和校准实验室；包含因子k取2便可满
足需要。
测量不确定度的报告
1.测量不确定度的信息量 测量不确定度的报告应提供尽可能多的信息，诸如：
• 给出被测量的定义及尽可能充分的描述，包括与有
关量的关系；
• 阐明由实验观测值和输入数据估算的被测量的测得
值及其获得方法；
• 列出所有不确定度分量（含灵敏系数）并说明它们
2.求被测量的最佳值
• 根据前面已建立的数学模型，被测量Y的最佳值表示
为y= f（x1，x2，…，xn）
• 在实际工作中，可根据观测数据和其它可用信息，利
用上式得出被测量的最佳值（通常即指算术平均值）。
最佳值的求法，一般有两种： ①先求出被测量Y的各个分量的估计值yk然后取平均值； ②先求出输入量Xi的最佳值 ;然后再求出Y的最佳值
• 以前的测量数据； • 有关资料与仪器特性的知识和经验； • 制造厂的技术说明书； • 校准或其它证书与技术文件提供的数据； • 引自手册的标准数据及其不确定度。
由于标准差、置信区间的半宽度与置信因子（或标准 差、扩展不确定度与包含因子）之间有着明确的函数 关系: U（xj）=a/k或u（xj）=U/k
设被测量Y是各依赖量X1， X2，…，Xn的函数即 Y= f（ X1， X2，…， Xn ）
式中，被测量Y常称为输出量，而X1， X2，…， Xn则 称为输入量。 数学模型往往不是唯一的，通常取决于测量方法、器具 和环境条件等。
注意：数学模型中不应含有带±号的项。另外，数学模型在建立之初往 往不够完善，通过长期测量实践的考核（如利用测量过程的统计控制技 术）可对数学模型进行必要的修正，使其不断完善。
故不确定度的B类评定便进一步转为对置信因子（或包 含因子）k的评定；而k值的评定则是根据先验或主观 概率分布来确定。例如：正态分布、均匀分布、三角 分布、反正弦分布、t分布。当缺乏足够的信息时，往 往只能取均匀分布。
B类评定的自由度可表示为
（1）当不确定度的评定与结果有密切相关的数字关系 时的自由度，如不确定度是由数据修约引起的，测量 结果的可靠程度最高，因此，v=∞；
U（y）=kuc（y） 关于包含因子k的确定，有以下3种情况： a.直接给出相应的k值； b.当给出或能求出各分量的自由度vi时，可根据其求出有效 自由度veff（vc），然后根据Vc和设定的置信概率p（一般 推荐为p=0.95）查t分布表，得出临界值tp（vc）便是k值；
c.若包含因子k和自由度vi均为给出，则只能根据具体 分布或先验分布和相应的置信概率p去求k值。例如， 对于正态分布，通常取k=2 ~ 3（相应的p=0.95 ~ 0.99） ；对于均匀分布，通常取k= （相应的p≈1）。
不确定度（二）
李英 20150831
目录
1 测量不确定度的评估流程
2
测量不确定度的报告
测量不确定度的评估流程
1. 建立数学模型
所谓建立数学模型，就是根据被测量的定义和测 量方案，确立被测量与有关量之间的函数关系。 数学模型实际上给出了被测量测得值不确定度的 主要来源量，但被测量测得值的不确定度分量的 数量，却可能多于其依赖的数量，即有的依赖量 所引入的不确定度分量可能不只一个。
（2）当不确定度的评定过程中，误差源是引入上级出 具的校准证书/检定证书等比较可靠的数据资料时，可 取较高的自由度，如v=∞或v=50；
（3）当不确定度的评定带有一定的主观因素，如由于人 为的读数误差引起的不确定度，可取较低的自由度。
B类标准不确定度的评估，主要取决于信息量是否充分 以及对它们的使用是否合理。这与评估者的知识基础、 业务水平和实践经验密切相关。所以，不确定度的B类 评估含有主观鉴别的成分。