7勾股定理全章知识点及典型题归类一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边 c 的平方。

（即： a 22＝c 2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一， 其主要应用： 叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a 2 b 2 c 2 中，a ，b ，c 为正整数时，称 a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25bc 2a 2，a c2b 2）（ 2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长： a 、b 、 c ，则有关系 a 22＝c 2，那么这个三角形是直角三 角形。

要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， 它通 过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （ 1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证 c 2与 a 22是否具有相等关系，若 c 2＝ a 22，则△是以∠C 为直角的直角 三角形 （若 c 2>a 22，则△是以∠C 为钝角的钝角三角形； 若 c 2<a 22，则△为锐角三角形） 。

（定理中 a ，b ， c 及a 2 b 2 c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如 若三角形三边长a ，b ，c 满足a 2 c 2 b 2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形 是直角三角形，但是 b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系n 组勾股数： n 2 1,2n,n 2 1（ n 2, n 为正整数）；2n 1,2n 2 2 n,2 n 2 2n 1（ n 为正整数）为正整数）二、典型题归类 类型一：等面积法求高【例题】如图，△中，∠ 900，7， 24，⊥于 D 。

（1）求的长； （2）求的长。

类型二：面积问题区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设， 这样的两个命题【例题】 如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边和长为 7cm,则正方形 A ，B ，C ，D 的面积之和为1）已知直角三角形的两边求第三边 （在 ABC 中， C 90 ，则 c a 2 b 2 ，③用含字母的代数式表示m 2 n 2,2mn, m 2 n 2（ m n, m ， n2。

2 / 7练 2】如图，边长为 1 的立方体中，一只蚂蚁从 A 顶点出发沿着立方体的外例题】 如图，一个牧童在小河的南 4 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的 西8北 7处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家 .他要完成这件事 情所走的最短路程是多少？小河【练 1】如图，一圆柱体的底面周长为 20，高ＡＢ为 4，Ｂ Ｃ是上底面的直径． 一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面 爬行到点 C ，试求出爬行的最短路程．）三角形 A.直角 B. 等腰 C. 等腰直角 D.等腰或直角练 1】如上右图，每个小方格都是边长为 1 的正方形， 1）求图中格点四边形的面积和周长。

2）求∠的度数表面爬到 B 顶点的最短路程是（ ）A 、 3B 、C 、D 、1【 练 3】如图，长方体的长为 15，宽为 10，高 为 20， 到点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从短距离是多少？练 2】如图，四边形 ABCD 是正方形， AE ⊥ BE ，且 AE =3， BE =4，阴影部分的面积是 【练3】如图字母 B 所代表的正方形的面积是 类型三：距离最短问题类型四：判断三角形的形状 【例题】 如果Δ的三边分别为a 、 点BA 点爬到B 点，需要爬行的最b 、c ，且满足 a 222+506a810c ，判断Δ的形状。

A牧童练 1】 已知△的三边分别为 角三角形 .m 2－ n 2,2 22（为正整数 , 且 m >n ）, 判断△是否为直练 2】.已知 a ，b ，c 为△三边，且满足 （a 2－b 2）（a 22－c 2） ＝ 0，则它的形状为B小屋223 / 7练 3】三角形的三边长为（a b ） c 2ab, 则这个三角形是 （ ） 三角形类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法【例题 】若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形 的面积。

类型六：构造应用勾股定理【例题】 如图，已知：在 中， ， ， . 求： 的长.练： △中， 20，32，D 是上一点，且⊥，求的长．类型七：利用勾股定理作长为 n 的线段例 1 在数轴上表示 的点。

作法：如图所示在数轴上找到 A 点，使 3，作⊥且截取 1，以为半径，以 O 为 圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为。

【练习】在数轴上表示 13 的点。

类型九：生活问题【 练 1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图） ，测得内部底面半径为 2.5 ㎝，高为12 ㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6 ㎝，问吸管要做 ㎝。

【 练 2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路” 。

他们仅仅少走了步路（假设 2 步为 1m ），却 踩伤了花草。

2、已知一直角三角形的斜边长是2，周长是 2+ 6 ，求这个三角形的面积．（ A ）等边（ B ）钝角（ C ） 直角（ D ）锐角 类型五：直接考查勾股定理【例题】 在△中， ∠90°（1）已知 6， 10，求 b ； 已知 40， 9，求 c ；（3）已知 25， 15，求 a.。

练习 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。

(2)如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处。

（1）求证：（2）设，试猜想之间的一种关系，并给予证明．【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边折叠，使它落在斜边上，且与重合，你能求出的长吗？【练习1】如图所示，折叠矩形的一边，使点落在边的点F 处，已知8，10，求的长。

D台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向22 米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/ 时的速度沿北偏东30o方向往C练习2】如图，△中，∠ 90°，垂直平分线交于D 若8，5，求的长。

移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？高8 米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，类型十：翻折问题6，8，现将直角边沿直线练3 】如上右图，校园内有两棵树，相距棵树小鸟至少要飞米.如图所示， P 为正方形内一点，将 绕 B 顺时针旋转 90 到 的位置，若 a ，求：以为边长的正方形的面积 练 2】如图，四边形 ABCD 是正方形， AE ⊥ BE ，且如图 2-9 ，△中，∠ 90°，，P 是△内一点，满足 3，1，?2，求∠的度数． 勾股定理全章知识点及典型题归类2013-3-10 典型题归类 【例题 】如图，△中，∠ 900，7，24，⊥于 D 。

（1）求的长；（2）求的长。

李老师） 姓名： 类型一：等面积法求高 类型二：面积问题 【练 1】如上右图，每个小方格都是边长为 1 的正方形， （1）求图中格点四边形的面积和周长。

（ 2）求∠的度数 AE =3， BE =4，阴影部分的面积是类型三：距离最短问题【例题】 如图，一个牧童在小河的南 4的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8北 7 处，他想把他的马牵到小河边去饮水， 然后回家 . 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河牧童A练 2】如图，边长为 1 的立方体中， 的外表面爬到 B 顶点的最短路程是（A 、3B 、C 、 （1 班） 如图，长方体的长为 15，宽为 到点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 爬到 B 点，需要爬行的最短距离是多少？北东D 、1 10，高 为15一只蚂蚁从）类型四：判断三角形的形状例题】 如果Δ的三边分别为 a 、b 、c ，且满足 a 222+506a810c ，判断Δ的形状。

【练1】已知△的三边分别为m2－n2,2 22（为正整数, 且m>n）, 判断△是否为直角三角形.类型九：生活问题【练1】如上右图，校园内有两棵树，相距12 米，一棵树高13 米，另一棵树高8 米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米.练2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/ 时的速度沿北偏东30o方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响. （1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由.类型十：翻折问题例：如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处。

（1）求证：练：△中，20，32，D是上一点，且⊥，求的长．类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+ 6 ，求这个三角形的面积．（2）设，试猜想予证明．之间的一种关系，并给类型六：构造应用勾股定理【例题】如图，已知：在中，，，. 求：的长.类型七：利用勾股定理作长为n 的线段在数轴上表示13的点。

练习：如图，△中，∠ 90°，垂直平分线交于D 若8，5，求的长。

类型十一：旋转问题例题：如图所示，P 为正方形内一点，将绕B 顺时针旋转90 到的位置，若a ，求：以为边长的正方形的面积练习：如图2-9 ，△中，∠ 90°，，P 是△内一点，满足数．3，1，?2，求∠的度。