北京信息科技大学
2014 ~ 2015学年 第一学期
《高等数学A(1)》课程期末考试试卷A
参考答案及评分标准
一、填空题(共15分，每题3分)
1. 若53lim(1)x x e x λ--→∞+=，则λ=53.
2. 函数22()||(2)
x x f x x x +-=+的间断点的个数为2. 3. 函数3()3f x x x =-的极小值为2-.
4. 曲线3231025y x x x =--+的拐点是(1,13).
5. 曲线()31y x x =-在点()1,0
二、解答题(共60分，每题6分)
1. 求极限22
4
0sin lim x x x x →-. 解 224300sin 2sin cos 2lim lim 4x x x x x x x x x
→→--=——————3分 2002cos 224sin 21lim lim 12243
x x x x x x →→--===-———————3分 2. 求函数()sin cos y x x =的微分.
解(sin(cos ))sin(cos )(sin(cos ))dy d x x x dx xd x ==+——3分 [sin(cos )sin cos(cos )]x x x x dx =-—————————3分
3. 求曲线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩在3t π=处的切线方程. 解sin 1cos t y t
'=-————3分
32|12
x y π='==
1232y x π-=-+——3分 4. 设,1(),1
x e x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在点1x =处可导，求,a b 和(1)f '. 解 1
lim()x ax b a b e +→+=+=——2分 1lim 1x x e e e x -→-=-，1lim 1
x ax b e a x +→+-=-，,0a e b ==——3分 (1)f e '=——————————1分
5. 设函数()y y x =由方程()1cos ln
1x xy y +-=确定，求0d d x y x =. 解 ()2
(1)sin ()01y y y x xy y xy x y '-+'-+-=+——4分 11011y '--=，0
d 1d x y x ==——————————2分
6. 求不定积分5ln x xdx ⎰. 解5651
ln [ln ]6x xdx x x x dx =-⎰⎰
——————4分 56611ln [ln ]66
x xdx x x x C =-+⎰——————2分
7. 设(21)x f x xe +=，求5
3()d f x x ⎰。

解 设21x t =+，则2dx dt =——————2分
5
222231112()d 2(21)d 2d 2[]2dt=2e 1
t t t f x x f t t te t te e =+==-⎰⎰⎰⎰——————4分 8. 计算反常积分 211d (1ln )x x x +∞+⎰
. 解221111d lim d (1ln )(1ln )b b x x x x x x +∞→+∞=++⎰
⎰————3分
lim arctan(ln )2b b π→+∞==————3分
9. 求微分方程0xy y '''+=的通解.
解 设()y p x '=，则y p '''=————2分
0xp p '+=，1dp dx p x =-，1C y p x
'==——3分 12ln y C x C =+————————1分
10.求微分方程22x y y y e '''--=的通解.
解 特征方程220r r --=，解得2,1r =-，对应的齐次方程的通解为 212x x y C e C e -=+————3分
设原方程的一个特解为2*x y Axe =，将它代入原方程，解得13
A =，于是 原方程的通解为221213
x x x y C e C e xe -=++——3分 三、解下列各题(共18分，每题9分)
1.在曲线2y x =（0x ≥）上某点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112
，试求： （1）切点A 的坐标；
（2）过切点A 的切线方程；
（3）由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解 设切点为0x ，切线方程为20002()y x x x x -=-，切线与x 轴的交点为0(,0)2x ，0
32
001412x x x dx -=⎰，01x =，切点A 的坐标为(1,1)，切线方程为12(1)y x -=-——6分 旋转体的体积1142102
1(21)30V x dx x dx πππ=--=⎰⎰——3分 2. 设连续函数()y f x =满足方程20
()2()x f x f t dt x +=⎰，求()f x . 解 显然()y f x =是可微函数，()2()2f x f x x '+=————5分
221()(2)2x x x f x e xe dx C x Ce --=+=-+⎰，(0)0f =，12
C =，所求函数为
1122
x y x e -=-+——4分
四、证明题(共7分，每题7分)
1. 设()f x 在(,)a b 上可导，()f x '在(,)a b 上有界，求证()f x 在(,)a b 上有界. 证明 因为()f x '在(,)a b 上有界，所以存在正数M ，使得对于任意的(,)x a b ∈，有|()|f x M '≤————1分
取(,)c a b ∈，任取(,)x a b ∈，则()()|||()|f x f c f M x c
ξ-'=≤-————4分 |()|()|()|f x M b a f c ≤-+——————2分。