恒成立问题的一般解法——
（一）分离参数法 （二）构造函数法
（三）更换主元法 （四）数形结合法
一、利用分离参数法解决恒成立问题
例1、已知不等式 ax2 -2x + 2a > x2对任 意的a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取 值范围.
已知函数f(x)=ax -lnx . 若f(x)>1在 (1，+∞)上恒成立，求a的取值范围. 解题依据：
（1）a≥f(x)恒成立 （2）a≤f(x)恒成立
a [ f ( x)] max
a [ f ( x)] min
随堂练习 1、 解：依题意： f ( x) 1 在 (1,) 上恒成立
ln x 1 对一切 x (1,) 恒成立 a x ln x 1 ln x 设 g ( x) ，则 g ( x ) 2 x x 当 x (1,) 时， g ( x) 0 ， 即函数 g ( x) 在 (1,) 上单调递减 所以 g ( x) g (1) 1 ，则 a 1 ， 故 a 的取值范围为 [1,)
例2、设函数f(x)=tx2+2t2x+t -1(x∈R，t>0) （1）求f(x)的最小值h(t)； （2）若h(t)< -2t+m对于任意的t∈(0，2) 恒成立，求实数m的取值范围.
若不等式x2 -2mx+2m+1>0 对满足 0≤x≤1的所有实数x都成立，求m的取值 范围.
随堂练习 2 解：设 f ( x) x 2 2mx 2m 1 ， 依题意：当 0 x 1 时， f ( x) min 0 恒成立 (1) 当 m 0 时， f x 在[0,1]上是增函数， 因此 f (0) 是最小值，
对于一些含参数的不等式恒成立问题 ，如果能够将不等式进行同解变形，将 不等式中的变量和参数进行剥离，即使 变量和参数分别位于不等式的左、右两 边，则可将恒成立问题转化成函数的最 值问题求解。 注意：对这类题要注意看函数能否取得 最值，因为这直接关系到最后所求参数 的取值.
二、利用构造函数法解决恒成立问题x [0， 3]
m 0 1 由 解得， m 0 2 f (0) 2m 1 0
(2)当 0 m 1 时， f x 在 x m 时取得最小值
0 m 1 由 解得， 0 m 1 2 f ( m) m 2 m 1 0
（3）当 m 1 时， f x 在[0,1] 上是减函数， 因此 f (1) 是最小值
已知对任意实数x，不等式 ∣x+1∣≥kx 恒成立，求k的取值范围.
若把不等式进行合理的变形后，能非常容 易地作出不等号两边函数的图象，则可以通 过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题 、填空题这种方法更显方便、快捷。 解题依据：f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立等价 于f(x)的图象在g(x)的图象上方. 注意：利用函数图象解题时，思路是从边界 处（从相等处）开始形成的。
当不等式中出现参数时，我们往往 以自变量为主元，有时易致使解题思路 受阻，解题过程不畅。若将题中已知范 围的参数与自变量“主、客转化”，问 题就会变得简单。
四、利用数形结合法解决恒成立问题x [0， 3]
1 < 0在x∈(0， ) 3 内恒成立，求实数a的取值范围.
例4、若不等式3x2 -logax
三、利用更换主元法解决恒成立问题
例3、已知不等式 ax2 -2x + 2a > x2对任 意的a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取 值范围.
对于0≤p≤4的一切实数，不等式 x2+px>4x+p -3 恒成立，求x的取值范围.
对于一次函数f(x)=kx+b，x∈[m，n]有：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( m) 0 f ( x) 0恒成立 f ( n) 0 f (m) 0 f ( x) 0恒成立 f ( n) 0
这节课我们学习了解决恒成立问题的一般 法。 这些方法是 分离参数法 、 构造函数法 、 更换主元法 、 数形结合法 。 • 一般地，解决不等式恒成立问题的思想方法 是：分类讨论、数形结合、参数分离、变换 主元等。
m 1 由 解得， m 1 f(1) 2 0
1 综上所述， m 的取值范围为 ( , ) 2
求解恒成立问题时，可依据不等式的特 征先构造出某个区间上的函数，再利用函数 的性质解题。
（1）形如f(x)>g(x)(x∈I)的恒成立问题，可 构造函数h(x)=f(x)-g(x)，则原不等式等价于 h(x)>0(x∈I)恒成立，继而可利用导数研究函 数h(x)的单调性、极值，便可求解； （2）若构造二次函数，可利用二次函数的 图象特征、判别式等求解。