实用标准文档因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍：一、提公因式法. ： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（ 1）平方差公式： a 2 b2 (a b)(a b)（ 2）完全平方公式： a 2 2ab b 2 (a b)2 ,a 2 2ab b 2 (a b)2（ 3）立方和公式：（ 4）立方差公式：例 . 已知a，b，c是ABC 的三边，且a2 b2 c2 ab bc ca ，则ABC 的形状是（）A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解： a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca(a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 0 a b c三、分组分解法：（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式 = (am an) (bm bn)=a(m n) b(m n)每组之间还有公因式！=(m n)(a b)例 2、分解因式：2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式 = (2ax10ay ) (5by bx)原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =2a(x 5 y) b(x 5 y)=x(2a b) 5 y(2a b)=( x 5y)(2a b)=(2a b)( x 5y)练习：分解因式1、a2ab ac bc2、xy x y 1实用标准文档（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： x 2 y 2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式 = (x 2 y 2 ) = (x y)( x= (x y)( x(ax ay) y) a( x y) y a)例 4、分解因式： a 解：原式 = (a= (a=(a2 2ab b 2 c 2 22ab b 2 ) c 2b) 2 c 2b c)( a bc)练习：分解因式 3、 x 2x 9 y 2 3y 4、 x 2 y 2z 22 yz综合练习：（ 1） x 3x 2 y xy 2 y 3（ 2） ax 2bx 2 bx ax a b（ 3） x 2 6xy 9 y 2 16a 2 8a 1（ 4） a 2 6ab 12b 9b 24a（ 5）a 42 3 a 29（6） 4a 2 x 4a 2 2 2yay b x b四、十字相乘法：（一）二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式——x 2 ( p q) x pq(x p)( x q) 进行分解。
特点：（ 1）二次项系数是 1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例 5、分解因式： x 2 5x 6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
实用标准文档由于 6=2×3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) × (-6) ，从中可以发现只有2×3 的分解适合，即 2+3=5。
1 2解： x2 5x 6 = x2 ( 2 3) x 2 3 13= ( x 2)( x 3) 1 ×2+1× 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例 6、分解因式：x2 7x 6解：原式 = x2 [(1)( 6)] x ( 1)( 6) 1 -1= (x 1)( x 6) 1 -6（ -1 ）+（ -6 ）= -7练习 5、分解因式 (1) x 2 14 x 24 (2) a 2 15a 36 (3) x2 4x 5练习 6、分解因式 (1) x2 x 2 (2) y 2 2 y 15 (3) x 2 10 x 24（二）二次项系数不为 1 的二次三项式——ax 2 bx c条件：（ 1）a a1a2 a1 c1（ 2）c c1c2 a2 c2（ 3）b a1c2 a2 c1 b a1 c2 a2c1分解结果： ax 2 bx c =(a1 x c1 )( a2 x c2 )例 7、分解因式：3x211x 10分析： 1 -23-5（-6 ） +（ -5 ）= -11解： 3x211x 10 =( x 2)(3x5)练习 7、分解因式：（ 1）5x2 7x 6 （ 2）3x2 7 x 2 （ 3）10x2 17 x 3 （4）6 y2 11y 10（三）二次项系数为 1 的齐次多项式例 8、分解因式：a28ab 128b2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
18b1-16b8b+(-16b)= -8b解： a 2 8ab 128b2= a 2 [8b ( 16b)] a 8b ( 16b)= ( a 8b)(a 16b)实用标准文档练习 8、分解因式 (1) x23xy 2y 2(2) m26mn 8n2(3) a 2ab 6b2（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式例 9、2x2 7xy 6 y2 例 10、x2y2 3xy 21 -2y 把 xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1 -2(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2 y)(2x 3y) 解：原式 =( xy 1)( xy 2)练习 9、分解因式：（ 1）15 x2 7xy 4y 2 （ 2）a2x2 6ax 8综合练习10、（ 1）8x6 7x3 1 （ 2）12x2 11xy 15 y2 （ 3）( x y)2 3( x y) 10（ 4）(a b) 24a 4b 3（5）x2y25x2y 6x2（6）m24mn 4n23m 6n 2（ 7）x24xy 4 y2 2 x 4 y 3（8）5(a b) 223(a 2 b 2 ) 10(a b) 2 （ 9）4 x24xy 6x 3y y 210（10）12( x y)211( x2y 2 ) 2( x y) 2思考：分解因式：abcx 2(a2 b2 c 2 ) x abc文案大全实用标准文档五、换元法。
例 13、分解因式（ 1）2005x2 (2005 2 1) x 2005（2）( x 1)( x 2)( x 3)( x 6) x2解：（1）设 2005= a，则原式 = ax2 (a 2 1) x a= (ax 1)( x a)= (2005 x 1)( x 2005)（ 2）型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式 =( x2 7x 6)( x2 5x 6) x2设 x 2 5x 6 A ，则 x2 7x 6 A 2x∴原式 =( A 2x) A x 2 = A2 2Ax x 2= ( A x) 2= ( x 2 6x 6)2练习 13、分解因式（ 1）( x2 xy y 2 ) 2 4xy( x2 y2 ) （2）( x2 3x 2)(4x2 8x 3) 90 （ 3）(a21) 2(a 25) 24(a23)2例 14、分解因式（1）2x4 x3 6x2 x 2观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式” 。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式 = x 2 (2x 2 x 6 1 1 22( x 21( x16 x x2 ) = xx 2) )x设 x 1 t ，则 x2 1 t 2 22 x2x 22 2∴原式 =x2 2)t6= x 2t t 10 （ t= x 2 2t 5 t 2 = x 2 2x 2 5 x 1 2x x= x·2x 2 5 ·x·x 1 2 = 2x2 5x 2 x 2 2x 1 x x= (x 1)2 (2x 1)( x 2)（ 2）x4 4x3 x2 4x 1解：原式 = x2( x2 4 x 1 4 1) =x2 x 2 1 4 x 1 1x x2 x 2 x 设 x 1 y ，则 x 2 1 y2 2x x 2实用标准文档∴原式 = x2( y2 4 y 3) =x2( y 1)( y 3)=x 2 ( x 1 1)( x 1 3) = x 2 x 1 x 2 3x 1x x练习 14、（ 1）6x4 7x3 36x 2 7 x 6（ 2）x4 2x 3 x 2 1 2( x x2 )六、添项、拆项、配方法。
例 15、分解因式（ 1）x3 3x2 4解法 1——拆项。
解法 2——添项。
原式 = x3 1 3x2 3 原式 = x3 3x2 4x 4x 4 = ( x 1)( x2 x 1) 3(x 1)( x 1) = x( x 2 3x 4) ( 4x 4) = (x 1)(x 2 x 1 3x 3) = x( x 1)( x 4) 4(x 1) = (x 1)( x 2 4x 4) = ( x 1)( x2 4x 4) = (x 1)( x 2)2 = ( x 1)( x 2)2（ 2）x9 x6 x 3 3解：原式 = (x9 1) ( x6 1) ( x3 1)= ( x3 1)( x 6 x3 1) ( x3 1)( x3 1) ( x3 1)= ( x3 1)( x6 x3 1 x 3 1 1)= ( x 1)( x2 x 1)( x6 2x3 3)练习 15、分解因式（ 1）x3 9x 8 （ 2）(x 1)4 ( x2 1) 2 ( x 1)4 （ 3）x4 7x2 1（4）4 x 2 2ax 1 a 2 4 4 4 （）2a 2 b 2 2a 2 c 2 2b 2 c 2 a 4 b 4 c 4 x （）y (x y)5 x 6七、待定系数法。