① a2 – 9 = ____(a_+_3_)_(_a_–_3_)_______ ② 49 – n2 = ___(7_+_n_)_(_7_–_n_)_______ ③ 5s2 – 20t2 = __5_(_s_+_2_t)_(_s–_2_t_)____ ④ 100x2 – 9y2 =__(_1_0_x_+_3_y_)_(1_0_x_–_3_y)
–
(2x–y)2
④ 4x2 – 8xy + 4y2 = 4 (x2–2xy+y2) = 4 (x–y)2
做一做
用完全平方公式 进行因式分解。
①a2 18a 81 ④m4n2 2m2n 1
②x2 2 x 1 ⑤a2b2c2 4abc 4 39
③ s2 t 2 2st ⑥25 x2 20 x 4
分解质因数 630 = 2×3×3×5×7
分解因式
x2 x __________ x2 1 __________
x2 1 x 1x 1
上面我们把一个多项式化成了几个整 式的积的形式，像这样的式子变形叫做把 这个多项式 因式分，解也叫做把这个多项 式分解因。式
因式分解
x2 1
x 1x 1
整式乘法
因式分解与整式乘法是逆变形
下列从左边到右边的变形 哪些是属于因式分解？
⑴ X(X-1)=X²-X；
(X )
⑵ 3a(a+b)=3a²+3ab ⑶ X²+2X=X(X+2)；
(X )
√ ( √)
⑷ y²-4=(y+2)(y-2)；
( X)
⑸ X²+2X+1=X(X+2)+1
(X )
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
公因式 4
a
b2
最大公约数 相同字母 最低指数
观察 一看系数 二看字母 三看指数 方向
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式. 解:8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
简记பைடு நூலகம்诀：
首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中。
1
–2
5
4
4 – 10 = –6 ∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
十字相乘法②随堂练习：
1）4a2–9a+2 2）7a2–19a–6 3）2(x2+y2)+5xy
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
计 算
x 44 x __________
： 7 b2 __________
m 99 m ____________
逆用完全平方公式
试计算：9992 + 2×1999998×1 + 1
= (999+1)2 = 106
就像平方差公式一样，完全平方公 式也可以逆用，从而进行一些简便计 算与因式分解。
（3） 6x3 – 54xy2 解：原式 = 6x (x2–9y2)
= 6x (x+3y)(x–3y) （4） (x+p)2 – (x–q)2 解：原式= [ (x+p)+(x–q) ]·[ (x+p)–(x–q) ]
= (2x+p–q)(p+q)
做一做
利用平方差公 式因式分解。
①169a2 196b2 ⑤9m2n2 16t 2
即：a2 2ab b2 a b2
a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
例如
① 16x2 + 24x + 9 = (4x+3)2
② =
– –
(44xx22+–44xxyy+–y2y)2=
做一做
用恰当的方法 进行因式分解。
①2a a2 1
②m2 mn 1 n2 4
③ x2 y2 2 4x2 y2
备选方法：
提公因式法 平方差公式 完全平方公式
④ x2 6x 9x2 9
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
5 x2 – 6 xy – 8 y2
选 学
逆用平方差公式
试计算：9992 – 1 = (999+1)(999–1) = 1000×998 = 998000
因式分解:（1）x2 – 4 ;（2）y2 – 25 = (x+2)(x–2) = (y+5)(y–5)
这些计算过程中都逆用了平方差公式
即：a2 b2 a ba b
尝试练习(对下列各式因式分解)：
⑦ x2 y 2x3y x2 y2 23 6
⑧49 4mn2 98 5n2m
维度A
公式回顾
▪ 平方差公式：(a b)(a b) a2 b2
▪ 完全平方公式：(a b)2 a2 2ab b2
▪ 立方和公式：a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
▪ 立方差公式：a3 b3 (a b)(a 2 ab b2 )
② 1 x2 1 y2 ⑥ x2 y2
4 16
94
③25x4 16y2 ⑦ p q2 q4
④9xy2 36x3 y2 ⑧2a b2 4a b2
复习回顾
还记得前面学的完全平方公式吗？
a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
4 +3=7
3 x2 + 11 x + 10
∴3x2+11x+10 =(x+2)(3x+5)
1
5
3
2
2 + 15 = 17
因式分解：
①x 2x 4 x2 4
例如：1
（1） – 4x2 + y2 解：原式 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x)
= – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
（2） x4 – 1 解：原式 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
因式分解一定要分解彻底 !
例如：2
解:2a(b+c) – 3(b+c) =(b+c)(2a-3).
做一做
按照提公因式 法因式分解。
①3a2b 6abc
⑤36x2 y3 45x3 y2
② 5x3 y 10xy 2 20xy ⑥74a3b2c4 111a4b3c4
③ 1 m3n mn 5 mn2
3
6
④0.49 p2q 0.21pq2