回归课本专题五 不等式、立体几何 第 1 页回归课本专题五：不等式、立体几何一、不等式：1．不等式的基本概念和性质不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- 例1．（1）设a ∈R 且a ≠-2,比较a+22与2-a 的大小．（2）若不等式|x-1|<a 成立的充分条件是0<x<4，则实数a 的取值范围是_________.2．几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ，b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）最值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○1如果P 是定值，那么当x=y 时，S 的值最小；即积定和最小 ○2如果S 是定值，那么当x=y 时，P 的值最大．即和定积最大 利用最值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号）0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若（8）如果a,b 都是正数，那么2112a b a b+≤≤+（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==） 例2：（1）设a ，b ∈R ＋，且a+b =1，则1212+++b a 的最大值是__________.（2）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是_____.A ．1122a b a b +B ．1212a a bb +C ．1221a b a b +D ．123.不等式的解法例3：（1）设221:200,:0||2x p x x q x ---><-，则p 是q 的_________.（2）已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是 ____. 4.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-==-≥++--1)n ==≥5.不等式的应用例5：已知)(x f 对一切实数y x ,都有()()()f x y f x f y +=+，且当x ＞0时，)(x f ＜0 （1）证明)(x f 为奇函数且是R 上的减函数；（2）若关于x 的不等式22[cos ()][sin ()]()66f x f x f m ππ+-+<对一切0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的取值范围.6.练习：1、不等式x x x <-24解集是___________.2．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为_____________.3．设命题甲为:⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ;命题乙为:⎩⎨⎧<<<<3210y x ;则甲是乙的___________条件.4．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得 x x f 的0)(<的取值范围是_____________.5．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是__________. （1）||||||c b c a b a -+-≤- （2）aa a a 1122+≥+ （3）21||≥-+-ba b a （4）a a a a -+≤+-+213 6、若不等式|x -1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是_________.7、设实数x ，y 满足1)1(22=-+y x ，当c y x ++≥0时，c 的取值范围是_________. 8、若关于x 的不等式x 2－ax －6a ≤0有解，且对于任意的解x 1，x 2恒有|x 1－x 2|≤5，则实数a的取值范围为____________.9、设函数()sin ,[,]22f x x x x ππ=∈-，若12()()f x f x >，则x 1与x 2的关系为____________.10、若a,b,c ＞0且a(a+b+c)+bc =4-23,则2a+b+c 的最小值为 .回归课本专题五 不等式、立体几何 第 2 页11、已知点（x 0，y 0）在直线ax+by =0，(a ，b 为常数)上，则2020)()(b y a x -+-的最小值为.12、设a ，b ∈R ＋，且a+b =1，则1212+++b a 的最大值是__________. 二、解答题： 13、设f(x)是定义在上]1,1[-的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x =1对称，而当]3,2[∈x 时，44)(2-+-=x x x g ．（1）求f(x)的解析式；（2）对于任意的 ,]1,0[,2121x x x x ≠∈且求证：;2)()(1212x x x f x f -<-（3）对于任意的,]1,0[,2121x x x x ≠∈且求证：.1)()(12≤-x f x f14、已知)1(log )(+=x x f a ，点P 是函数y=f(x)图象上任意一点，点P 关于原点的对称点Q 的轨迹是函数y=g(x)的图象.（1）当0<a <1时，解不等式：2f(x)+g(x)≥0；（2）当a >1，x ∈[)1,0时，总有2f(x)+g(x)≥m 恒成立，求m 的范围.15、解关于x 的不等式：()0922>≤-a a a x x二、立体几何： 1. 位置和符号:①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法 ②直线与平面: a ∥α、a∩α=A (a ⊄α) 、a ⊂α ③平面与平面:α∥β、α∩β=a例:⑴给出下列关于互不相同的直线l n m ,,和平面βα,的四个命题：①,,,m A A l m ∉=⊂点αα 则l 与m 不共面；②l 、m 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=⊂⊂ ，则βα//.其中真命题是 .（填序号） ⑵已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题： ①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是 2. 常用定理:①线面平行ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂；αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂；ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥ ②线线平行:b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα；b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα；b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα；b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫ ③面面平行:βαββαα////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊂b a O b a b a ；βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ；γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫ ④线线垂直:b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα；所成角900；PA a AO a a PO ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂⊥αα⑤线面垂直:ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l b l a l O b a b a ,,；βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l ,；βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //；αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a // ⑥面面垂直：二面角900；βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ；βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a // （提醒：在书写时，要注意定理条件使用的准确）2. 求空间角:①异面直线所成角θ的求法：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法：平移以及补形法、向量法.(主要以向量法为主)如（1）正四棱锥ABCD P -的所有棱长相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于____；（2）在正方体AC 1中，M 是侧棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上的一点，则OP 与AM 所成的角的大小为____；②直线和平面所成的角：（1）范围[0,90]；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角：回归课本专题五 不等式、立体几何 第 3 页（3）求法：作垂线找射影或求点线距离 （向量法）；如（1）在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=1，D 在棱BB 1上，BD=1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角的正弦值为______；（2）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点，则棱 A 1B 1 与截面A 1ECF 所成的角的余弦值是______；③二面角：二面角的求法：（主要以向量法考查）；3.平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)⇔顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S 侧cosθ=S 底;正三角形四心?内切外接圆半径?;4.空间距离:（要注意在求体积时）①异面直线间距离:找公垂线; ②平行线与面间距离(两平行面间距离)→点到面距离:直接法、等体积、转移法、垂面法、向量法PA nh n⋅= .5.平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变;6.从点O 引射线OA 、OB 、OC ,若∠AOB=∠AOC ,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上;若A 到OB 与OC 距离相等,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上；7.常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题；②将空间图展开为平面图； ③割补法；④等体积转化；⑤线线平行⇔线面平行⇔面面平行；⑥线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直；⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化. 8.练习1、已知直线l ⊥平面α，直线⊂m 平面β，有下面四个命题：（1）α∥β⇒l ⊥m （2）α⊥β⇒l ∥m （3）l ∥m ⇒α⊥β（4）l ⊥m ⇒α∥β 其中正确命题的序号是2、给出下列关于互不相同的直线l n m ,,和平面βα,的四个命题： （1）,,,m A A l m ∉=⊂点αα 则l 与m 不共面；（2）l 、m 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； （3）若ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=⊂⊂ ，则βα//（4）若m l m l //,//,//,//则βαβα 其中真命题是 （填序号） 3、已知一个棱长为6cm 的正方体塑料盒子（无上盖），上口放着一个半径为5cm 的钢球，则球心到盒底的距离为 cm.4、矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为５．在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点，若截面D BC 1∆是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 。