专题五 立体几何
第一讲 空间几何体
1．棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质
侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形． (2)正棱锥的性质
侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形． 2．三视图
(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高； (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样． 3．几何体的切接问题
(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长．
(2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何 问题．
4．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式
①圆柱的表面积 S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )；
③圆台的表面积S ＝π(r ′2
＋r 2
＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2
. (2)体积公式
①柱体的体积V ＝Sh ；
②锥体的体积V ＝1
3
Sh ；
③台体的体积V ＝1
3(S ′＋SS ′＋S )h ；
④球的体积V ＝43
πR 3
.
1． (2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是
( )
A ．4 B.143
C.16
3
D ．6
答案 B
解析 由三视图知四棱台的直观图为
由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝14
3.
2． (2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是
( )
答案 D
解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.
3． (2013·江西)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方
体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝
( )
A．8 B．9 C．10 D．11
答案 A
解析取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.
4． (2013·新课全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，
(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为
( )
答案 A
解析根据已知条件作出图形：四面体C1－A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示．故选A.
5． (2013·福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为
2的正方形，则该球的表面积是________．
答案12π
解析由三视图知，该几何体为正方体和球组成的组合体，正方体的对角线为球的直径．所以2R＝23，即R＝3，球的表面积为S＝4πR2＝12π.
题型一空间几何体的三视图
例1(1)(2012·广东)某几何体的三视图如图所示，它的体积为
( )
A．12πB．45πC．57πD．81π
(2)(2012·陕西)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，
则该几何体的左(侧)视图为
( )
审题破题根据三视图先确定原几何体的直观图和形状，然后再解题．
答案(1)C (2)B
解析 (1)由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成，直观图如图所示． 圆锥的底面半径为3，高为4，圆柱的底面半径为3，高为5，
∴V ＝V 圆锥＋V 圆柱＝13Sh 1＋Sh 2＝13×π×32×4＋π×32
×5＝57π.
(2)还原正方体后，将D 1，D ，A 三点分别向正方体右侧面作垂线．
D 1A 的射影为C 1B ，且为实线，B 1C 被遮挡应为虚线．
反思归纳 将三视图还原成直观图是解答该类问题的关键，其解题技巧是对常见简单几何体及其组合体的三视图，特别是正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等几何体的三视图分别是什么图形，数量关系有什么特点等都应该熟练掌握，会画出其直观图，然后由三视图验证．
变式训练1 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________ cm 3
.
答案 18
解析 由几何体的三视图可知，该几何体由两个直四棱柱构成，其直观图如图所示．上底面直四棱柱的长是3 cm ，宽是3 cm ，高是1 cm ，故其体积为9 cm 3
，下底面直四棱柱的高是3 cm ，长是1 cm ，宽是3 cm ，其体积为9 cm 3
.故该几何体的体积为V ＝18 cm 3
. 题型二 空间几何体的表面积和体积
例2 如图所示，已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、CC 1的中点，
求四棱锥C 1—B 1EDF 的体积．
审题破题 本题可从两个思路解题：
思路一：先求出四棱锥C 1—B 1EDF 的高及其底面积，再利用棱锥的体积公式求出其体积； 思路二：先将四棱锥C 1—B 1EDF 化为两个三棱锥B 1—C 1EF 与D —C 1EF ，再求四棱锥C 1—
B 1EDF 的体积．
解 方法一 连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连接B 1D ，过O 1作。