F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0， a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c） a>0，b>0， 但a不一定大于b，
c2=a2+b2
讨论:
1）当2a 等于|F1F2|时，动点M的轨迹是 以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外侧的两条射线．
2）当2a大于|F1F2|时，动点M的轨迹 不存在
16 9
16 9
(1).(-5,0)(5,0)； (2).(0,-5)(0,5)
2、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上 一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则
(1) a=___3____ , c =___5____ , b =___4____
(2) 双曲线的标准方程为______________
设 c2-a2＝b2 得 b2x2 a2 y2 a2b2
双即曲：a线x22 上 by每22 一 1点(a到 0两,b焦 点0) 距双离曲之线差的的标绝准对方值程为2a．
哪个系数是正的，它对应的字母
（x或y）就是焦点所在轴．
如ax22 果 by焦22 点 1在(a y轴0,上b ，0)则双曲 线表的示焦标点准在方x轴程上为的：双曲线
y
M (x ,y) F2(0,c)
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
O
x
F1
(0,-c)
其表焦示点焦坐点在标y为轴(上0,的-c双)，曲(0线,c) 其中：c2 a2 + b2 ．
问题:对于一个具体的双曲线方程，怎么判
断它的焦点在哪条轴上呢？
课堂巩固
1、写出以下双曲线的焦点坐标
（1）x2 y2 1, (2) x2 y2 1
(2) 1 20 16
已知双曲线过 P1 求双曲线的标准方程.
(2，3 2
5
)，P2
(
4 3
7，4)
两点；
y2 x2 1
9 16
一般式方程：
( ) 跟踪训练：已知双曲线过 2, 3 ,
两点；求双曲线的标准方程.
15 , 3
2
x2 y2 1 3
练习
1 已知方程 x2
y2
2+m m+1
由 2a 6, 2c 10
得 a 3, c 5 所以 b 52 32 4
双曲线方程为:
x2 y2 1
9 16
练习：分别求下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，a 4 ，b 3 ；
（2）a= 2 5，经过点A（-5,2），且焦点在x轴上；
(1) x2 y2 1 16 9 x2 y2
(3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10, 则|PF2|=_4_或__1_6________
已知双曲线的两个焦点坐标分别是(-5,0)，
(5,0)，点P到F1,F2距离差的绝对值等于6，求它 的标准方程．
解：由于双曲线的焦点在x轴，于是设标准方程为
x2 a2
y2 b2
1
只要求出a、b则可求出双曲线的方程
双曲线标准方程推导 y
求曲线方程的步骤：
第一步 建立直角坐标系
F1 O
以线段F1F2中点为坐标原点， (-c,0) F1F2所在直线为 x 轴，建立 平面直角坐标系，则F1(-c,0)， F2(c,0).
第二步 设点
设M (x, y)
M(x ,y)
F2 x (c,0)
第三步 列式
y M (x ,y)
3）若2a等于0时,轨迹是
线段F1F2的垂直平分线
4）在双曲线的定义描述中要注意：
差的绝对值、常数小于|F1F2|及常数 大于0这三个条件
探究:
(1)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 为8,则M点的轨迹是什么?
双曲线的右支
(2)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 的绝对值为10,则M点的轨迹是什么?
y2 x2 a2 b2 1
F(0, ± c)
c2 a2 + b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
焦点 a.b.c的
关系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
+
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
+
x2 b2
1(a
b
0)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0, b 0) a2 b2 y2 x2 1(a 0,b 0) a2 b2
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的 差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的 点的轨迹叫做双曲线.
M
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
F1 o F2
||MF1| - |MF2||=2a（小于|F1F2|）
+
m2
y2 2m
3
1
表示焦点在y轴上的
双曲线，求实数m的取值范围。 (5, +)
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
图象
M
F1 o F2 x
M F2
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的 关系
x2 a2
y2 b2
1
F ( ±c, 0)
表示焦点在y轴的
双曲线，则实数m的取值范围是_____m_＜__－__2____
变式1: 上述方程表示焦点在x轴的双曲线，则m的
取值范围是_____m_＞__－__1________ 变式2: 上述方程表示双曲线，则m的取值范围是
__m_＜__－__2__或___m_＞__－__1_
训练：若方程
5
x2 m
由定义可得 ||MF1|-|MF2||＝2a
第四步 代坐标
F1 O
(-c,0)
表(ห้องสมุดไป่ตู้示+一c )个2 +焦y2点在(xx轴上c )的2 +双y2曲线2 a．
x
F2
(c,0)
第五步 化简 （c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)
其焦点坐标为（c,0),(-c,0)，其中：c2 a2 + b2 ．
动点M的轨迹是分别以点A,B为端点，方向指向
AB外侧的两条射线．
(3)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 的绝对值为12,则M点的轨迹是什么?
法拉利主题公园
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
花瓶
反比例函数的图像
冷却塔
罗兰导航系统原理
全球卫星定位导航系统
画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=常数
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F|=常数 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 常数