郑州大学土木工程学院
线性单元完全积分
二次单元完全积分
被积函数f(x)为m次多项式，积分点数目n满足： 可以取得精确积分
一维问题：插值函数的多项式为p，微分算子中的导 数阶数是m，被积函数是2(p-m)次多项式.Gauss积 分点应 2( p m) 1 达到精确积分要求
m三、应力计算
stress recovery
■Error≠Mistake in FEM (Modeling or solution) Type of error: ★Modeling error (beam, plate,…theories) ★ Discretization error (Finite, Piecewise) ★ Numerical error (In solving FE equations) As the mesh in the FE models is refined repeaedly,the FE solution will converge to the exact solution of the mathematical model of the problem.
8
郑州大学土木工程学院
Usually the usage of the nodes of the Gauss quadrature formula as interpolation or extrapolation points leads to better results. superconvergent stress points @The bi-linear elements have 1 superconvergent points in two dimensions. @The bi-quadratic elements have 4 superconvergent points in two dimensions.
郑州大学土木工程学院
第四章 有限元法计算中的几个关键问题
§4.1 单元问题
§4.2 Substructure §4.3 联结单元 §4.4 钢筋混凝土结构模型
1
郑州大学土木工程学院
§4.1 单元问题
一、有限单元 单元的特征
一、单元问题 二、缩减积分 三、应力计算 四、模型建立问题
①单元族：每种单元所假定的几何类型不同。 实体单元、壳单元、梁单元、桁架单元、膜 单元、无限单元、弹簧和粘壶、刚性体单元。 ②自由度：计算的基本变量 1、2、3方向的移动，绕1、2、3方向的转动，开 口截面梁单元的翘曲，声压、孔隙压力或静水压 力，电势，实体单元的温度
2
郑州大学土木工程学院
③结点数目与插值的阶数 一次、二次插值，一般都提供二次单元选择 ④单元性质 截面特性。材料特性和任何附加的几何信息。 如三维梁单元：材料特性，梁截面轮廓。自由度 包括每个点（2个点）的三个方向位移、三个方 向的转角 ⑤数学描述和积分 定义单元行为的数学理论；应力或位移式基于 Lagrange或材料描述，欧拉方法描述。 每个单元几个积分点？完全积分，缩减积分
3
郑州大学土木工程学院
⑥单元输出变量 输出变量是相对于整体坐标系还是在自己定义的 局部坐标系。 刚性体个刚性单元：计算效率问题 弹簧和减震器单元：在不需要详细模拟整体的情 况下建立2结点的有效刚度或阻尼。 二、实体单元的完全积分和缩减积分
完全积分：指单元形状规则时，所用的Gauss积 分点数目足以对单元刚度矩阵的多项式进行精确 积分。 形状规则是指直线边界、直角。如矩形四边形单 元。 4
x x x x x
9
郑州大学土木工程学院
◆The SPR recovery method (Superconvergent patchs recovery) ◆ The REP recovery (Recovery by Equilibrium of Patches)
[1] O.C. Zienkiewicz and J.Z. Zhu, Superconvergence and the superconvergent patch recovery, Finite Elem. Anal. Des. 19 (1995) 11-23. [2] A. A. Rogovoy. THE STRESS RECOVERY PROCEDURE FOR THE FINITE ELEMENT METHOD, Computers & Strucrures Vol. 63, No. 6, pp: 1121- 1137, 1997
2
p m 1
5
郑州大学土木工程学院
n p m 1
◆二维4结点等参单元：插值函数包含有2次项，
1, , , , ,
2 2
假设|J|是常数，应取(2+1)/2=2，即2x2个积分点 才能达到精确积分。 ◆二维8结点等参单元：需要3x3个积分点 大多数情况下，实际选取的积分点数低于精确积 分点。 高斯积分点数低于被积函数所有项次精确积分所 需要阶数的积分方案称为缩减积分.一般去在每个 方向少用一个积分点。
7
郑州大学土木工程学院
Two type of procedures The residual based error estimator The recovery based error estimator
A achieving a fairly good stress approximation for the FEM ---stress recovery methods stress recovery procedures include: ■ a simple averaging of the stresses obtained from all elements at a particular node; The mean stress technique is the most simple for realization, but the least accurate. ■ the global least-squares procedures .