3.常用单元的一致质量矩阵
●三次梁单元
156 22l 54 13l
me
Al

22l
4l 2
13l
3l 2
420 54 13l 156 22l
13l 3l 2 22l
4l 2
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵
●三角形平面问题单元
2 0 1 0 1 0
2 0 1 0 1
第五章 有限元动力学分析基本原理
在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结
构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力
及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆
称结构静力学有限元方法。但工程实际中还存在着另
外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体，
此时，相应的位移、应力、应变等都与时间有关，而
(0) 1 1 1T 3 2 0 1 1
于是有
求得 (21)和 （1）
再代入
S
（1）
2 (2)
(2)
以此类推
S （i）
2 (i1)
(i1)
收敛条件 （k） (k1)
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭 代法计算其最高阶固有频率和振型。
1 0 0
二、单元阻尼矩阵的计算
对于组合阻尼，如已知结构的阻尼比及结构的固 有频率，其计算方法有：
2(i
2 j
j
ji i2
)
i
j
如果 i j
2( j j ii )
2 j
i2
则 2i j i j
2 i j
三、机械结构固有频率与振型
机械结构的振动固有频率和振型问题，在有限元方 法求解释，对应的数学问题既是矩阵的特征值和特 征向量问题。关于矩阵的特征值及特征向量问题， 是矩阵理论中比较热门的研究领域，下面我们仅简 单地罗列以下常见方法的名称，具体的方法求解步 骤，可以参考有关书籍，有大量的软件保重均包含 求解特征值和特征向量的软件程序。
阻尼矩阵非常复杂，主要是阻尼本身的复杂性引 起的，一般均为假设，如阻尼力正比于单元的运动 速度，此时得到的阻尼矩阵正比于单元质量矩阵； 也可以假设阻尼力正比于单元的应变速度，此时得 到的阻尼矩阵则正比于单元刚度矩阵，还有一些其 他类型的假设，如上述两者的组合，分别有：
ce me ce ke ce me ke
在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量 平均分到单元的各个节点上，如平面三角形单元的 质量可分配为：
mi
mj
mk
3
V
dV
一、单元质量矩阵的计算
2.集中质量矩阵 单元质量矩阵为：
me diag mi mi mj mj mk mk
3.常用单元的一致质量矩阵
●一次杆单元
me
Al
N
T
N
dx
M 0 2 0
0 0 3
3 2 0
K 2 5 3
0 3 3
解：
1 0 0
M 1 0 1/ 2
0
0 0 1/ 3
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法 3 2 0
S M 1S 1 2.5 1.5
0 1 1
在开始迭代时，需选取初始迭代向量，可以按经验 估计，也可以用静力学特性的位移值，选得合适可 以减少迭代时间。先假设：
且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类分析或问题，
成为动力学分析。
对于质点—弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如
一个自由度为n的质点—弹簧振系，其动平衡方程为
M
&
&
C
&
K
P
第五章 有限元动力学分析基本原理
上式中每一项的含义不同
M
&
&
C 为阻尼力
K 为弹性力
对于单元体而言，可以得到类似的上述方程
第五章 有限元动力学分析基本原理
一、单元质量矩阵的计算
1.单元一致质量矩阵
2.单元集中质量矩阵
3.常用单元的一致质量矩阵
二、单元阻尼矩阵
1.速度阻尼矩阵
2.应变阻尼矩阵
三、机械结构的固有频率和振型
1.无阻尼自由振动方程 2.矩阵迭代法
3.其他方法
四、机械结构的动力响应计算
1.振型叠加法
2.直接积分法
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
Rqe N T qdV
V
V
N
T
N
2 t 2
e
dV
N T N dV e
V
于是，令 me NT NdV
V
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
me 的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度矩
阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵。
2.集中质量矩阵
这是计算方法中最典型的特征值问题。 2.矩阵迭代法
这种方法用于求解基频或最高阶频是很有效的，并 且能得到相应的特征向量。
将无阻尼自由振动方程改写 K 0 M 20
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
即有 M 1K0 20 S0 20
●迭代步骤
令
(0) 代入
S
(0)
2 (1)
(1)
me
t
12
2 0 1 0 2 0 1
对称
2 0
2
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵
●矩形平面问题单元 4 0 2 0 1 0 2 0
4 0 2 0 1 0 2
4 0 2 0 1 0
me
abt
9
4 0 2 0 1
4 0 2 0
对称
4 0 2
4 0
4
二、单元阻尼矩阵的计算
Al
12
1
2dx
A l 112 2
12 22
dx
l
6
2 1
1 2
一、单元质量矩阵的计算
3.常用单元的一致质量矩阵
●二次杆单元
me
A
N T
l
N dx
A
l
222122
1 2
412
222122
1 2
412
T
dx
4 1 8
Al
30
1
8
4 8
8 16
一、单元质量矩阵的计算
1.结构无阻尼自由振动的运动方程
结构在无外力作用时，得到的是自由振动，此时 阻尼影响不大，结构的自由振动可简化为：
M K 0
三、机械结构固有频率与振型
1.结构无阻尼自由振动的运动方程
设结构作简谐运动 0sin t
代入无阻尼振动方程，可得 K 2M 0 0
上式解存在的条件为 K2M 0
me
&
& e
ce
&e
ke
e
pe
一、单元质量矩阵的计算
单元质量矩阵根据其形成过程分为一致质量阵和 集中质量阵，各有自身的优点和缺点。
1.一致质量矩阵
在离散后的结构中，取出一个单元，根据达朗贝 尔原理，单位体积上作用的惯性力为：
q
2 t 2
2 t 2
N
e
N
2 t 2
e
惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和 实施过程，有：