2019届高三第一次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{}13=A ，，{}01=B ，，则集合AB = ▲ ．【答案】{}013，，2． 已知复数2i 3i 1iz --=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ .【答案3． 某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：则平均每人参加活动的次数为 ▲ . 【答案】34． 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ▲ ．【答案】75． 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 ▲ ． 【答案】236． 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm 3． 【答案】547． 若实数x y ，满足2+3xy x ≤≤，则x y +的最小值为 ▲ ．【答案】6-8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)=>y px p 的准线为l ，直线l 与双曲线2214x y -=的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB =p 的值为 ▲ ．（第4题）【答案】9． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3y x t =+与曲线()sin cos y a x b x a b t =+∈R ，，相切于点()01，，则()a b t +的值为 ▲ ． 【答案】410．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①数列{}n a 是等比数列； ②数列{}1+n n a a 是等比数列； ③数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 是等比数列； ④数列{}2lg n a 是等比数列．其中正确的命题有 ▲ 个．【答案】311．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=．当01<x ≤时，()=f x 31x ax -+，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】212．在平面四边形ABCD 中，1AB DA DB ==，，32AB AC AC AD ⋅=⋅=，，则2AC AD +的最小值为 ▲ ．【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，圆221O x y +=：，圆()2244C x y -+=：．若存在过点()0P m ，的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】()443-，14．已知函数()()()2|||2|(0)f x x a x a x a a =+-++<．若(1)(2)(3)f f f +++…(672)0f +=，则满足()2019f x =的x 的值为 ▲ ． 【答案】337二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为棱P A ，PD 的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA =DP ． 求证：（1）MN ∥平面PBC ； （2）MD ⊥平面P AB ．【证明】（1）在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为棱P A ，PD 的中点，所以MN ∥AD ．……………………2分 又底面ABCD 是矩形， 所以BC ∥AD ．所以MN ∥BC ． …………………………………………………………………4分 又⊂⊄BC PBC MN PBC 平面，平面，所以MN ∥平面PBC ． …………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD 是矩形， 所以AB ⊥AD ．又侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧面P AD ∩底面ABCD =AD ，AB ⊂底面ABCD ， 所以AB ⊥侧面P AD ．……………………………………………………………8分 又MD ⊂侧面P AD ，所以AB ⊥MD ． ………………………………………………………………10分 因为DA =DP ，又M 为AP 的中点，从而MD ⊥PA ． ………………………………………………………………12分 又PA ，AB 在平面P AB 内，=PAAB A ，所以MD ⊥平面P AB ．…………………………………………………………14分 16．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对边的长，cos cos a B A =，cos A ．（1）求角B 的值；（第15题）ABCDPMN（2）若a ABC 的面积．【解】（1）在△ABC中，因为cos A =，0π<<A ，所以sin A ．………………………………………………………2分因为cos cos a B A =，由正弦定理=a b，得sin cos cos =A B B A ．所以cos sin =B B ． ………………………………………………………………… 4分若cos =0B ，则sin =0B ，与22sin cos 1B B +=矛盾，故cos 0B ≠． 于是sin tan 1==B B ．又因为0π<<B ，所以π4B =． …………………………………………………………………………7分（2）因为asin A ，由（1）及正弦定理sin sin =a b A B，所以b ． ………………………………………………………………………9分又()()sin sin πsin C A B A B =--=+sin cos cos sin =+A B A B=．……………………………………………12分 所以△ABC的面积为11sin 22===S ab C ……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221y x a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ．（1）已知椭圆的离心率为12，线段AF（2）已知△ABF 外接圆的圆心在直线y x -=上，求椭圆的离心率e 的值．【解】（1）因为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为12，所以12c a =，则2a c =．因为线段AF所以2a c -=．所以c 28a =，2226b a c -==．所以椭圆的标准方程为22186x y +=． …………………………………………………4分（2）因为(0)(0)A a F c -，，，， 所以线段AF 的中垂线方程为：2a cx -=． 又因为△ABF 外接圆的圆心C 在直线y x -=上， 所以()22a c a cC ---，．…………………………………………………………………6分 因为(0)(0)A a B b ，，，， 所以线段AB 的中垂线方程为：()22b a ay x b --=． 由C 在线段AB 的中垂线上，得()2222a cb a ac ab -----=，整理得，2()b a c b ac -+=，…………………………………………………………10分 即()()0b c a b -+=．因为0a b +>，所以b c =．……………………………………………………………12分所以椭圆的离心率c e a ==． …………………………………………14分 18．（本小题满分16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB AD ，的长分别为m 和 4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，=3COD 2π∠．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（第17题）（2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC 与地面水平线l 所成的角为θ．记拱门上的点到地面 的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值．【解】（1）如图，过O 作与地面垂直的直线交AB CD ，于点12O O ，，交劣弧CD 于点P ，1O P 的 长即为拱门最高点到地面的距离． 在2Rt O OC △中，23O OC π∠=，2CO = 所以21OO =，圆的半径2R OC ==． 所以11122=5O P R OO R O O OO +=+-=．答：拱门最高点到地面的距离为5m ． …………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P ．当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离． 由（1）知，在1Rt OO B△中，OB ==以B 为坐标原点，直线l 为x 轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P 在劣弧CD 上时，ππ62θ<≤． 由π6OBx θ∠=+，OB = 由三角函数定义，得O ππ))66()θθ++，θODCB AxyOOODDDCCAA ACDO则π2)6h θ=++． …………………………………………………………8分所以当ππ62θ+=即π3θ=时， h取得最大值2+ ……………………………………………………10分（2.2）当点P 在线段AD 上时，06θπ≤≤．设=CBD ϕ∠，在Rt BCD △中，DB =sin cos ϕϕ====．由DBx θϕ∠=+，得))()D θϕθϕ++，．所以)h θϕ=+4sin θθ=+．……………………………………14分 又当06θπ<<时，4cos 4cos 066h θθππ'=->-=>．所以4sin h θθ=+在[0]6π，上递增．所以当6θπ=时，h 取得最大值5．因为25+，所以h的最大值为2+答：4sin 06π2)662h θθθθθπ⎧+⎪⎪=⎨ππ⎪++<⎪⎩，≤≤，，≤；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（2+m ． ……………………………………………16分19．（本小题满分16分）已知函数()()ln a f x x a x =+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()f x 有两个不相同的零点12x x ，．① 求实数a 的取值范围；② 证明：1122()()2ln 2x f x x f x a ''+>+．【解】（1）()f x 的定义域为()0+∞，，且2()x a f x x-'=． （1.1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以()f x 在()0+∞，为增函数； ………2分 （1.2）当0a >时，（i ）当x a >时，()0f x '>，所以()f x 在()+a ∞，上为增函数；（ii ）当0x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0a ，上为减函数．………4分 （2）①由（1）知，当0a ≤时，()f x 至多一个零点，不合题意；当0a >时，()f x 的最小值为()f a ，依题意知()=f a 1ln 0a +<，解得10e a <<．……………………………………6分一方面，由于1a >，()10f a =>，()f x 在()+∞a ，为增函数，且函数()f x 的图 象在()1a ，上不间断．所以()f x 在()a +∞，上有唯一的一个零点． 另一方面， 因为10e a <<，所以210e <<<a a ．2211()ln 2ln f a a a a a =+=+，令()12ln =+g a a a，当10e a <<时，()2212210-'=-+=<a g a a a a ， 所以()()211()2ln 20f a g a a g e a e==+>=->又()0f a <，()f x 在()0a ，为减函数，且函数()f x 的图象在()2a a ，上不间断．所以()f x 在()0a ，有唯一的一个零点． 综上，实数a 的取值范围是()10e ，．……………………………………………10分 ② 设()()1122121211=2+a a a a p x f x x f x x x x x ⎛⎫''=+=-+-- ⎪⎝⎭．又1122ln 0ln 0a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，， 则()122ln p x x =+．………………………………………12分 下面证明212x x a >．不妨设12x x <，由①知120x a x <<<．要证212x x a >，即证212a x x >． 因为()2120a x a x ∈，，，()f x 在()0a ，上为减函数， 所以只要证()212a f f x >⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又()()12==0f x f x ，即证()222a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭．……………………………………14分 设函数()()()()22ln 2ln a x a F x f f x x a x a =-=--+>． 所以()()220x a F x ax -'=>，所以()F x 在()+a ∞，为增函数.所以()()20F x F a >=，所以()222a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭成立． 从而212x x a >成立.所以()122ln 2ln 2p x x a =+>+，即()()11222ln 2''+>+x f x x f x a 成立. …16分20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()()212123(21)nn k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，．① 证明：{}n b 为等比数列；② 求集合*3()=p m m pa a m p m pb b ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，．【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =， 所以1134878362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，，解得111a d =⎧⎨=⎩，． 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． ………………………………………………3分（2）①设数列{}n b 前n 项的和为n B ．由（1）及()()212123(21)nn k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，得，()()()()()()21211121213212321212nnk n k k n n k n k k b a n b an n +-=----=⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+-⎪⎩∑∑，③≥， ④ 由③-④得()()()1121223131321321+2n n n n n n b a b a b a b a n -------=++++()12322511+22n n n b a b a b a n ----+++-[]123225111(2)(2)+(2)2n n n n b a b a b a b a n ---=+++++++()12322511+22n n n b a b a b a n ----+++-()()1212+222n n n n n b b b b B b b -=++++=-++．所以13222n n n B b -⋅=-+()2n n *∈N ≥，， 又()1113212b a -=+，所以11b =，满足上式． 所以()12232n n n B b n -*-+=⋅∈N ⑤…………………………………………6分 当2n ≥时，2112232n n n B b ----+=⋅⑥由⑤-⑥得，2132n n n b b --+=⋅．………………………………………………………8分()12122n n n n b b ----=--=()()11120n b -=--=，所以12n n b -=，12n nb b +=， 所以数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．………………………………10分 ②由3=p m m p a a b b ，得11322m p p m --=，即32p mp -=．记nn na cb =，由①得，12n n n n a nc b -==，所以1112n n c n c n++=≤，所以1n n c c +≥（当且仅当1n =时等号成立）． 由3=p m m pa ab b ，得3m p pc c c =>， 所以m p <．…………………………………………………………………………12分 设t p m =-()*m p t ∈N ，，，由32p m pm -=，得323t t m =-． 当1t =时，3m =-，不合题意；当2t =时，6m =，此时8p =符合题意； 当3t =时，95m =，不合题意；当4t =时，12113m =<，不合题意．下面证明当4t t *∈N ≥，时，3123t t m =<-． 不妨设()233x f x x =--()4x ≥，()2ln 230x f x '=->，所以()f x 在4+[)∞，上单调增函数， 所以()(4)10f x f =>≥，所以当4t t *∈N ≥，时，3123t t m =<-，不合题意． 综上，所求集合*3()=p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，(){}=68，．………………16分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ，10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，且()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，求矩阵M ．【解】由题意，()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，则40102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ． ……………………………………4分 因为10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，则110=02-⎡⎤⎢⎥⎣⎦N ．……………………………………………………6分 所以矩阵401040=1020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ．………………………………………………10分 B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin()4ρθπ-=求：（1）直线l 的直角坐标方程； （2）直线l 被曲线C 截得的线段长．【解】（1）直线l的极坐标方程可化为(sin cos cos sin )44ρθθππ-=即s i n c o s 2ρθρθ-=．又cos sin x y ρθρθ==，， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=． …………………………4分（2）曲线C : 2x t y t=⎧⎨=⎩，（t 为参数）的普通方程为2x y =． 由220x y x y ⎧=⎨-+=⎩，，得220x x --=，所以直线l 与曲线C 的交点()11A -，，()24B ，． ……………………………8分 所以直线l 被曲线C 截得的线段长为AB ．………10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数a b c ，，满足222a b c ++≤1，求证：22211191114a b c +++++≥． 【证明】由柯西不等式，得()()()222222111111111a b c ++a b c ⎛⎫⎡⎤+++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭29=≥，…………………………5分所以2222221119991113134++a b c a b c =+++++++≥≥． …………………………10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位 “回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4， 其结果记为X ；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y ． （1）求X 为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X ，Y 两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ． 【解】（1）记“X 是‘回文数’”为事件A ．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308， 352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A 的概率2()9P A =．……………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得2()9P A =．…………………………………………………………………5分设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立．根据已知条件得，()29205=9P B C =． ()()()()()2528=0=119981P P A P B ξ=--=；()()()()()()()252543=1=11P P A P B P A P B ξ+=-+-=；()()()2510=2=9981P P A P B ξ=⋅= ……………………………………………………8分 所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为2843107()0128181819E ξ=⨯+⨯+⨯=．……………10分23．(本小题满分10分)设集合B 是集合{123n A =，，，…，32313}n n n n *--∈N ，，，的子集．记B 中所有元素的 和为S （规定：B 为空集时，S =0）．若S 为3的整数倍，则称B 为n A 的“和谐子集”． 求：（1）集合1A 的“和谐子集”的个数；（2）集合n A 的“和谐子集”的个数．【解】（1）集合{}1=123A ，，的子集有：φ，{}1，{}2，{}3，{}12，，{}13，，{}23，，{}123，，． 其中所有元素和为3的整数倍的集合有：φ，{}3，{}12，，{}123，，． 所以1A 的“和谐子集”的个数等于4．……………………………………………3分 （2）记n A 的“和谐子集”的个数等于n a ，即n A 有n a 个所有元素和为3的整数倍的子集；另记n A 有n b 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有n c 个所有元素和为3的整数 倍余2的子集．由（1）知，111=4=2=2a b c ，，．集合()+1{12332313313231}n A n n n n n n =--+++，，，，，，，，，的“和谐子集” 有以下四类（考察新增元素()313231n n n +++，，）： 第一类 集合{123n A =，，，…，32313}n n n --，，的“和谐子集”，共n a 个；第二类 仅含一个元素()31n +的“和谐子集”，共n a 个；同时含两个元素3132n n ++，的“和谐子集”，共n a 个；同时含三个元素()313231n n n +++，，的“和谐子集”，共n a 个； 第三类 仅含一个元素31n +的“和谐子集”，共n c 个；同时含两个元素()313+1n n +，的“和谐子集”，共n c 个；第四类 仅含一个元素32n +的“和谐子集”，共n b 个；同时含有两个元素()3231n n ++，的“和谐子集”，共n b 个， 所以集合+1n A 的“和谐子集”共有1422n n n n a a b c +=++个．同理得1422n n n n b b c a +=++，1422n n n n c c a b +=++．………………………………7分 所以+112()n n n n a b a b +-=-，112a b -=，所以数列{}n n a b -是以2为首项，公比为2 的等比数列． 所以=2n n n a b -．同理得=2n n n a c -．又3=2n n n n a b c ++，所以()321=2233n n n a n *⨯+⨯∈N ，． ………………………10分。