的平行面；
d2
c2
d
d
[例7.1] 求点C到直线AB的距离实长CD及投影。
a1 c1
k1 b1
k'
b'2 k'2
a'2
c'2
距离
k
[例7.2] 求三角形ABC与直线ＭＮ的交点
b′
n′
e′
V XH
m′ a′ a
c′
n
Z
O 水平线
me
c
O1
b
H
X1 V1
m1
特殊位置投影图
线面求交点投影图比较
e′ a′
b′
c′
f′
ce
b
f a 一般位置投影图
a′ f′
k′ b′
e′ c′
c af
k
e
b
特殊位置投影图
7.2 换面法
换面法：在投影体系中，变换投影面法简称换面法； 空间几何元素保持不动，用增设投影面的方法，使空间元素对新 投影面处于特殊位置，以利于解题。
第七章 投影变换
7.1 投影变换的目的与方法 7.2 换面法 7.3 旋转法（自习）
7.1 投影变换的目的与方法
1、投影变换的目的：
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行，垂直）时， 它们的投影反映线段的实长，平面的实形，及其与投影面的夹角。
投影变换就是将一般位置的直线或平面变换为与投影面平行 或垂直的位置，以简便地解决它们地定位与度量问题；
1、新投影面选择的原理； 2、点的投影； 3、换面法的基本作图与应用； 4、空间几何图解问题的综合分析；
换面法的概念
V1
a1
c1 b1
X1
c
c1
a
b1
b
X
a1
bc
X1
a
V/H 体系变为V1/H 体系
新投影面选择的基本原则：
1)新投影面必须垂直于所保留的原投影面。 2)新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。
１）点的新投影和不变的投影连线垂直于新投影轴，且不变投影线与新投影轴平 行； ２）点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的投影到投影轴的距离。 注：新投影面Ｖ１面离Ａ点的远近与解题无关
2、平行线变换为垂直线
a1 b1
a1 b1
b
１）点的新投影和不变的投影连线垂直于新投影轴，且不变投b影线与新投影轴垂
a1c 1
e1
b1
n1
Z1
[例7.3] 试用换面法求作两平面的夹角
b′
c′
a′
X
b
a a X1
1
d′
O
d
c
O1
d1
O2
d2
c1 a2c2
b1
X2
b2
[例7.4] 求两直线AB与CD的公垂线
b 1
2
1
2
c2
22
12
c'1
2'1
d'1
d2
a2b2
1'1
X
[例7.5] 在平面三
角形ABC内作一直
直；
２）点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的投影到投影轴的距离。
3、一般位置的直线变换为垂直线
a2 b2
1) 先将一般位置的直线变换为投影面平行线； 2) 将投影的平行线变换为投影面的垂直线
4、一般位置的平面变换为垂直面
b
a
d
b1
c
V
D
X
d1H1 H
a1
a
b d
c1
c
d １）作平面内的平行线，然后c以平行线作为新投影轴的垂直线；
2、投影变换的方法： 换面法 旋转法
一般位置直线与正平线投影图求实长比较
实长
一般位置直线
特殊位置直线
一般位置平面与水平面投影图实形比较
a′
c′
a′ b′ c′ b′
c
b
实形
c
a
a 一般位置平面
b
特殊位置平面
Ａ点到直线ＢＣ的距离
a′
c′
b′
a′
e′
b′
c′
b
a
a
c
一般位置投影图
实距离
b
(c) (e)
２）点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的投影到投影轴的距离。
5、垂直面变换为平行面
c1
V1
a1 b1
X1
c1 b1
a1
１）平面内垂线新投影轴的平行线； ２）点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的投影到投影轴的距离。
6、一般位置平面变换为平行面
a2
1、先将一般位置的 平面变换为投影面 垂直面；
点的一次变换
它们的Ｚ坐标 相等
V1 a1
X1
点的投影特性
1、点的新投影和不变投影的连线垂直于新投影轴。
2、点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。
V1
a1

a1
点的一次投影作图画法
点的二次变换
a2
a2
注意：每次只能更换一个投影面，且V、 H面必须交替变换
3、换面法的基本作图与应用
线EF，使EF与直线
MN垂直相交
X1
O
水平线
O1 O2
X2
7.3 旋转变换
自学
直线与平面的变换即是确定直线与平面的点的变换，包括： 1、一般位置的直线变换为平行线； 2、平行线变换为垂直线； 3、一般位置的直线变换为垂直线； 4、一般位置的平面变换为垂直面； 5、垂直面变换为平行面； 6、一般位置平面变换为平行面
1、一般位置的直线变换为平行线；
b1
b1 a1

a1