dA0 n j NK F J dA 代入(* *)得到： n T ji j i
1 jK
0 1 dA ( J F F ) N K FjK J Ti dA dA ** FiL KL N K Ti 0 dA 1 1 1 jK iL ** KL
又因为： FiL yi iL ui , L
证明：
因为
** 1 1 1 1 J F F J F 且 IK pq Ip Kq qp Ip F Kq
所以：
** ** KI IK
进一步考察Kirchoff应力张量与Lagrange应力张量间的关系



F
T
,
* ** Ki KL FiL
* Lagrange坐标系描述的格林应变张量是对称的，这样就会导致本构关系复杂化
Kirchhoff应力张量
• 我们希望构造一个对称的一点广义应力张 量：Kirchhoff应力张量。
分析： Lagrange应力张量是两点应力张量的原因？ 我们虽然新引入初始构形对应斜面dA 上的应力矢 t 与现时构形对应 斜面上 dA 的应力矢 t 不同。但我们仍假设这两个面上的合力矢量 保持 dp dpiii 不变。
0
N ( N ) (F1 )T
所以
JF
以分量形式表示
** 1 1 KI J pq FKp FIq
(F
)
* 1 （对比 Ki JFKj ji 分析 可知Kirchoff应力张量使用的均是Lagrange坐标，是一
点张量。所以 KI 表示法向为 N K 的截面上沿 xI 方向的应力分量，是假想的；
Kirchhoff应力张量
• 为避免上述情况。我们最好把用Lagrange坐标表示其法向 基矢的截面 K 上的力矢也分解到Lagrange坐标系的一组基
1 底上。我们只需要仿照 dx F dy 的变换，假定作用在变
形前微面积 dA0 上的力矢由变形后微面积dA 上的力矢dp dpiii
Kirchhoff应力张量
• Lagrange应力张量相对于Cauchy应力有优点——将现实构
形的平衡问题转换为初始构形平衡问题，使边界条件的描
述变得简单. • 但Lagrange应力张量也存在不足：因为形变梯度张量F 1不 对称， *也不对称，是个两点张量。从而剪应力互等关系 不成立。
* 1 J F * 1 JF Kj ji Ki
1 1 F dp F 经 变换得到：
dp 。则变形前微面积dA0上的
合应力矢 t dA0 dp 。
**
仿照
t n 和 t N ，我们也有
*
t
因为
**
N
N dA0 dp F1 dp F1 (N )dA0
[ ( IL uI ,L )],K p 0
** KL * I
• 同样，边界条件也可以用Kirchoff应力张量来表示
ji n j Ti ** 出发 我们由Euler应力张量表示的边界条件 ： 0 dA ** 1 1 1 由 KI J pq FKp FIq 及 n N F J 可得 dA 1 1 1 ** ji J FjK FiL KL
**
称为伪应力或者广义应力。）
JF 1 (F 1 )T
** 1 1 KI J pq FKp FIq
*
观察以上两式， Kirchoff应力张量应该具有对称性。实际上：、
因为Euler应力张量
具有对称性。
pq qp
而式（*）可看做相似变换，所以Kirchoff应力张量 对称。
xL
所以用Kirchoff应力张量表示的边界条件
** ( iL ui , L ) KL N K Ti* ** KL ( IL uI , L ) N K TI *
0
*
t dA 一方面，
所以

*
0
tdA dp dpiii
0
即t

*
ti ii

。另一方面： t N
*
（这里 N 为初始构形对应斜面dA 用Lagrange坐标表示的法向基矢）， 表示其法向的截面 K 上在Euler坐标 yi上的分量。
ti Ki NK

。也就是说， Ki 表示的是在由Lagrange坐标
这里我们看出Lagrange应力张量具有过渡性质。 结合由Lagrange应力张量表示的平衡微分方程
* * Ki p ,K i 0
从而得到Kirchoff应力张量表示的平衡方程 ** ( KL FiL ),K pi* 0 又因为 FiL 标系重合,所以 I 可以替换 i
yi iL ui , L 且Euler坐标系与Lagrange坐 xL
所以 又 因为
(F1 )T （两种应力张量之间的关系） N dA0 F1 dp F1 (n )dA (n ) (F1 )T dA
dA0 1 1 T N dA N F J ( F ) dA dA 1 1 T