∂x2ae2a来自'σ 32
σ 33
σ 31
3.4
主应力
如果作用在某一微分面上的应力矢量和这一微分面垂直， 如果作用在某一微分面上的应力矢量和这一微分面垂直，即这 一微分面上只有正应力而无剪应力，则这一微分面称为主平面 一微分面上只有正应力而无剪应力，则这一微分面称为主平面 其法线方向称为应力主方向 其上的应力称为主应力 应力主方向， 主应力。 ，其法线方向称为应力主方向，其上的应力称为主应力。如果 三个坐标轴方向都是主方向，则称这一坐标系为主坐标系 主坐标系。 三个坐标轴方向都是主方向，则称这一坐标系为主坐标系。 在主平面上，正应力取极值、剪应力为零。 在主平面上，正应力取极值、剪应力为零 n主平面上的单位法向量，σ主应力，主平面上的应力矢量 主平面上的单位法向量， 主应力 主应力， 主平面上的单位法向量
T1 , T2 , T3
T = T1i + T2 j + T3k
分别为应力矢量T(n)沿三个坐标方向的分量 沿三个坐标方向的分量 分别为应力矢量
3.2 应力张量
通过一点P 通过一点 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： σx ,τ xy ,τ xz 面的应力： 面的应力 y面的应力： 面的应力： 面的应力 z面的应力： 面的应力： 面的应力
三个微分面的外法向单位矢量e 三个微分面的外法向单位矢量 1, e2,e3.对应的应力矢量为 对应的应力矢量为
T, T , T 1 2 3
e3
σ 11
σ 13 σ 12
σ 23
σ 33
e3
σ 21
σ 22
e3
σ 32 σ 31
e2 e1
e2
e1
e2
e1
e1面的应力： 11,σ12,σ13 面的应力： σ
z
∆F
T 3
T 1
2 ∆S T
(1) T 是坐标的连续分布函数； 说明： 说明： (2) T 的加载方式是任意的;
k
i
O j
y
x (3) T T T的正负号由坐标方向确定。 的正负号由坐标方向确定。 3 1 2
3 、应力 (1) 一点应力的概念
(1) 物体内部分子或原子间的相互 内力 不考虑) 不考虑 作用力; (不考虑 作用力 (2) 由于外力作用引起的相互作用力 由于外力作用引起的相互作用力.
力分量的方向。 力分量的方向。 •以上 个分量，构成应力张量在笛卡儿坐标系下的分量 以上9个分量 构成应力张量 应力张量在笛卡儿坐标系下的分量 以上 个分量，
σ x τ xy τ xz σ ij = τ yx σ y τ yz τ τ σ z zx zy
取代下标x、 、 ， 张量表示 用1、2、3取代下标 、y、z， 、 、 取代下标
即
σ ij = σ ji
（13)
应力张量是对称的，九个应力分量中只有六个是独立的。 应力张量是对称的，九个应力分量中只有六个是独立的。这一结 论称为剪应力互等定理 剪应力互等定理。 论称为剪应力互等定理。 剪应力互等定理： 剪应力互等定理：过物体内任意一点的两个相互垂直的微分面 和这两个微分面的交线垂直的两个剪应力相等。 上，和这两个微分面的交线垂直的两个剪应力相等。
σ e2面的应力： 22,σ21,σ23 面的应力：
σ e3面的应力： 33,σ31,σ32 面的应力：
T =σ11e1 +σ12e2 +σ13e3 1 T =σ21e1 +σ22e2 +σ23e3 2 T =σ31e1 +σ32e2 +σ33e3 3
Ti = σ ij e j
（8） ）
σ ij 的第一个下标表示应力分量的作用面，第二个下标表示应 的第一个下标表示应力分量的作用面，
第3讲 应力张量 讲
3.1
外力与应力矢量
面力—— 作用于物体表面单位面积上的外力 面力
∆F —— 面力分布集度（矢量） 面力分布集度（矢量） T = lim S ∆S→ ∆ 0 （2） ） T =T i +T2j +T3k 1 T T T —— 面力矢量在坐标轴上投影 1 2 3
单位： 单位： 1N/m2 =1Pa (帕) 1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
主应力的确定： 主应力的确定：
设主平面存在，其外法线为 ， 设主平面存在，其外法线为n， 方向余弦： 方向余弦：n1，n2，n3
C
n
σn =σ 其上应力： 则：其上应力： τn = 0
T1 = n 1σ T 2 = n 2σ T 3 = n 3σ
代入
τ yx τ xy
z
σ
xz ττzx
σx
B
轴上的投影为： 在x，y，z轴上的投影为： ， ， 轴上的投影为
(b)
(a )
T = Ti ei
T = σ nn + τ ns
(5)
T
τn
P
σn
n
式中n 式中n和s分别为微分面的单位法向量和 单位切向量 σ n = T ⋅ n = Ti ni (6)
2 τn = T ⋅s = T 2 −σ n
(7) T为应力矢量 为应力矢量T(n)的大小，称为总应力 的大小， 为应力矢量 的大小 称为总应力
应力张量也满足张量的变换规律
弹性体的应力边界条件： 弹性体的应力边界条件： 当面abc为物体的边界面时，则其应力分量 为物体的边界面时， 当面
Tx ,Ty ,Tz
成为面力分量
Tx ,Ty ,Tz
e3
c
P
T x = n1σ x + n 2τ yx + n 3τ zx
由
n
b e2
T y = n1τ xy + n 2σ y + n 3τ zy T z = n1τ xz + n 2τ yz + n 3σ z
i i k kj
∫ r × TdS = ∫ r × (n ⋅σ )dS = ∫ x e × n σ
S S S
V
e j dS = ∫ ( xi ei × σ kj e j ),k dV
V
V
= ∫ (e k × σ kj e j= nkei k×⋅σ kjmje jm dV e j ∫=σ kjkekjimjiδ km e j∇ ⋅ σ )dV n ⋅ σ + xi e σ ,k e ) ⊗ = ( n σ e + r ×
n
σn
(法线 法线) 法线
应力分量
应力的切向分量
σn —— 正应力
τn —— 剪应力
单位: 单位
与面力相同
MPa (兆帕)
应力关于坐标连续分布的
σ =σ (x, y, z) τ =τ (x, y, z)
∆F
T ( r , − n) = −T ( r , n)
P
∆S
（4） ）
P
∆S
n
−n
−∆F
应力矢量T(n)的下标 表示微分面 的下标n表示微分面 应力矢量 的下标 的外法线方向， 的外法线方向，它用于反映应力作 用面的方向。 用面的方向。
σ ij σ 11 = σ 21 σ 31 σ 12 σ 22 σ 32 σ 13 σ 23 σ 33
（9） ）
过一点任意微分面上的应力矢量可由三个相互垂直的 微分面上的应力矢量表示出来， 微分面上的应力矢量表示出来，也即可由应力张量表 示出来。故应力张量完全确定了一点的应力状态。 示出来。故应力张量完全确定了一点的应力状态。
∆F —— 体力分布集度 f = lim 矢量） （矢量） ∆V→ ∆ 0 V f = f1i + f2j + f3k （1） ）
f1、f2、f3为体力矢量在坐标轴上的投影 单位： 单位： N/m3 kN/m3
z
f3
∆F
k i
O j
f1 ∆V f2
y
(1) f 是坐标的连续分布函数； x 说明： 说明：(2) f 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等 如 重力，磁场力、惯性力等) (3) f1、f2、f3的正负号由坐标方向确定。 的正负号由坐标方向确定。
&& ∫ ( f − ρ u)dV + ∫ TdS = 0
V S
T = Ti ni = n ⋅ σ
（10） ）
∫ TdS = ∫ n ⋅ σdS = ∫ ∇ ⋅ σdV
S S V
&& ∫ (∇ ⋅ σ + f − ρ u)dV = 0
V
V的任意性 的任意性
&& ∇ ⋅σ + f = ρu
运动方程
（11a） ）
n⋅σ = σ n 即 σ ⋅n = σ n
T =σn
（14)
主应力σ是应力张量σ的特征值， 是 主应力 是应力张量σ的特征值， n是σ的特征矢量 是应力张量 谱定理可知，必有三个相互垂直的应力主方向， 谱定理可知，必有三个相互垂直的应力主方向，对应的 有三个主应力 σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 因此必定存在一个主坐标系。 因此必定存在一个主坐标系。
1 1 x
)s
s
τ + n2 (
2
yx y
s
3
zx
s
x
a e1
xy
s
3
zy
s
y
xz
s
2
yz
s
3
n
s
z
x s
y s
z s
xy s
xz s
yz s
3.3
平衡方程和运动方程
应力的变化并不是任意的， 应力的变化并不是任意的，应力张量的变化必须满足平衡条件或 动量定理和动量矩定理。 对任一块体积V,表面为 作用在V上的 表面为S,作用在 动量定理和动量矩定理。 对任一块体积 表面为 作用在 上的 体积力、惯性力和面力的合力必须为零。 体积力、惯性力和面力的合力必须为零。即