《近世代数》试卷
一、填空题（每空2分，共20分）
1、4次对称群4S 的阶是____，在4S 中，(14)(312)=_______,(1423)1-=_______, 元素(132)的阶是______.
2、整数加群Z 是一个循环群，它有且仅有两个生成元是______和_____.
3、模6的剩余类环6Z 的全部零因子是__________.
4、在模12的剩余类环12Z 中，[6]+[8]=_______,[8][6]=_______.
5、17Z 是模17的剩余类环，在一元多项式环][17x Z 中，=+17
])
8[]6([x _________.
二、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分）
1、（ ）交换群的子群是不变子群。

2、（ ）若21,H H 是群G 的子群，则21H H Y
也G 是的子群。

3、（ ）任意两个循环群同构。

4、（ ）模27的剩余类环27Z 是域。

5、（ ）一个阶是19的群只有两个子群。

6、（ ）欧氏环上的一元多项式环是欧氏环。

7、（ ）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。

8、（ ）域是唯一分解环。

9、（ ）存在特征是143的无零因子环。

10、（ ）只有零理想和单位理想的环是域。

三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）
1、设)}132(),123(),1{( H 是3次对称群3S 的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，试问H 是否是3S 的不变子群？为什么？
2、求模12的剩余类环12Z 的所有理想。

3、设G 是交换群，e 是G 的单位元，n 是正整数，},,|{e a G a a H n
=∈=问：H 是否是G 的子群？为什么？
四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）
1、证明：整数环Z 中由34和15生成的理想（34，15）就是Z 本身。

2、设G 和H 是两个群，G e 和H e 分别是G 和H 的单位元，f 是群G 到H 的满同态映射，B 是H 的子群，证明：})(,|{B a f G a a A ∈∈=是G 的子群。

3、设S 是环)1,0,,,(⋅+R 的子环，N 是R 的理想且}0{=N S I ，证明：剩余类环N
R 有子环
与S 同构。