48-2x
x
x
48-2x
8
48
最优化问题举例(2)
如图,靠墙建一个矩形的操场,现只有围60米 的建筑材料. 问长和宽怎样选取,可以使操场的面积最大?
x
9
最优化问题举例(3)
上学期算分设计与分析问题的例子
• 货船装箱问题 • 0/1背包问题 • 一般背包问题等
• 2010 MCM/ICM ABC Problem
最优化方法补充内容1
最优化问题简介
1
知识点
• 优化问题引入 • 优化问题的定义 • 解的性质 • 相关数学知识
2
极值问题
• 回顾 极值问题： • 1、 f(x0)是函数f(x)的一个极大值这一概念是怎
样叙述的？ • 2、 f(x0)是函数f(x)的一个极小值这一概念是怎
样叙述的？ • 3、求函数的极值的步骤是哪几步？
3
y f (b)
f (x0)
y=f (x)
0
a
x0
b
x
4
最值问题
函数的最大值与最小值 定义: 设f(x)是区间[a,b]上的连续函数，如果
存 在 点 x0∈[a,b] ， 使 得 对 于 所 有 x∈[a,b] ， 都 有 f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），则称 f(x0)是函数f(x)在[a,b]上的最大值（或最小值）。
而极值点又包括在驻点中，因此我们只要把驻点的函数值及区
间端点的函数值都求出来，放在一起比较大小，就能找出最大
值和最小值来。最大值和最小值统称最值。
7
最优化问题举例(1)
例题1：有一边长为48厘米的正方形铁皮， 从它的四个角截去相等的小正方形，然后折起各 边做一个无盖的铁盒，问在四角截去多大的小正 方形，才能使所做的铁盒容积最大？
• 棒球棒的材质是否重要？也就是说，该模式能够预测不同材质的棒球棒（如水曲柳或 者铝制）对击打效果的影响？这是否成为美国职棒大联盟禁止金属棒球棒的理由？
• B题 • 1981年，彼得莎克利夫因谋杀13人以及恶意攻击多人而遭到指控。其中一个用于缩小
萨克利夫搜索范围的方法就是找到袭击地点的“质心”。果真嫌疑犯呆在通过这种技 术所预测的同一个镇上。从那以后，人们基于犯罪发生地开发出了许多更加高端的技 术来确定系列犯罪嫌疑人所在地的“地理概况”。 当地警方要求提供一种能够帮助他们侦查系列犯罪嫌疑人的方法。 • 你的方法应该运用至少两种不同的方案来确定嫌疑人所在地的“地理概况”。 • 你应该提供一种能够将不同方案的结果结合起来并能给执法者提供有效预测的技术。 • 你的预测应基于过去犯罪行为的时间和地点对下一次犯罪的可能地点做出某种估计或 指导。 • 如果在你的估计当中使用其它证据，必须提供有关如何导入这些额外信息的详细细节。 • 你的方法还应该提供对既定情境下估测可靠性的某种预测，包括适当的警告。 • 报告应该提供一页篇幅的摘要，还应有另外两页的执行概要。 • 该执行概要应对潜在的问题提供综述。 • 该概要还应该提供方法概述，并分别描述该方法可以以及不可以作为恰当侦查工具时 的情况。该执行概要将提交给警察局长阅览，因此应该包括适合预期受众需要的技术 细节。
最大值和最小值统称最值。
5
求函数最值的一般方法
•
先求出f(x)在[a,b]内的所有驻点（或
不可导但连续的点），
•
将这些点的函数值与区间端点的函数
值f(a),f(b)进行比较，
•
其中最大（小）的就是函数在区间
[a,b]上的最大（小）值
6
y
f (b) y=f (x)
f (x0)
0
a
x0
b
x
可以看出,函数在区间[a ,b]上的最大值和最小值要么是区间 端点的函数值，要么是极值。
11
• C题 • 今年来，对于太平洋巨大垃圾漂浮带有着广泛的报道。参见如下网站： • 根据近年来科学家对太平洋垃圾回旋区（也就是海洋上垃圾的不断积累的汇集区）的研究，出现
了与此垃圾带相关的多种的技术的和科学的问题。然而向海洋中倾倒垃圾不是一个新问题，但是 科学家最近才发现，在太平洋上的大部分垃圾（尤其是塑料）分布越来越广，密度越来越高，而 且垃圾对海洋生态和人类和人类的福祉造成了潜在的威胁。业内人士经常把这种积累描述为塑料 汤(plastic soup)或者confetti. 参见： • 今年的icm问题时一个跨学科的建模，用来研究当前海洋垃圾积累所带来的复杂的问题，目的是 帮助研究者以及最终的政府政策的制定者来理解问题的严重性、范围和潜在的全球性影响。
10
• 问题A：“最佳力度点(sweet spot)” • 解释棒球棒上的“最佳力度点(sweet spot)” • 每一名棒球手都知道在棒球棒击球端存在一个击球点，该点在击球的时候能传递最大
的力量。为什么该点不位于末端呢？力偶（扭矩）分析似乎更认同末端为“最佳力度 点”。但是根据实际经验却并非如此。建立一个数学模式来解释这一实际现象。 • 一些棒球手认为通过对棒球棒的“木塞法”(corking)处理（即在棒球棒的前端挖出一个 圆筒，并且用木塞或者橡胶填充此圆筒，最后用木制盖子扣上）能够提升“最佳力度 点”的击球效果。对你已经建立的数模进行拓展来验证或驳斥提升效果这一说法。这 是否能够作为美国职棒大联盟禁止“木塞法”的理由？
• 作为数学模型的设计者，你的任务是关注垃圾问题的一个方面，建立模型并分析他的行为，并且 决定他对海洋生态、政府政策以及实施的潜在影响，以帮助政府政策的制定者来改善它的负面影 响。务必要考虑未来科学研究的需要以及这个问题的经济因素，然后写一篇报告，对你的发现和 问题的建议、需要的政策以及实施方法进行总结。建模中可能需要调查的问题包括：
定 义 ： 设 函 数 f (x) 在 点 X0 的 某 邻 域 U (x0 ) 上 有 定 义 ， 若 对 x U (x0 ) 有 f (x) f (x0 ) ，（ f (x) f (xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ) ）
定义：设函数 f (x) 在点 X0 处的得极大值（极小值）点 X0 称为极大点（极小点）， 极大值，极小值统称为极值，极大点，极小点统称为极点。
• 对于海洋环境中塑料物的潜在的长期和短期的影响是什么？怎样来监控他对海洋生态环境的影响？ 务必要考虑到时间和空间的变量。相关的资源要求是什么？
• 如何才能最好的理解和描述垃圾回旋区中的塑料的广度(extent)、密度和分布？需要什么样的监控 计划来追踪塑料的增长/腐烂/运动,需要什么样的资源(resourcing)来执行这个计划？