t
divu
I
C t

divC
u
divDm
grad C

I
稀释的二元体系中α组分的对流—扩散方程
应用条件： 1、二元体系；2、等温条件；3、低浓度；
15
对流—扩散方程
对于一维流动二维水动力弥散：
C t

x

Dxx
C x

Dxy
10
控制方程：质量守恒定理（续）
α 设 , ux , uy , uz 分别表示 组分密度、x,y,z方向的速度
分量。


ux
x x , y, z 2

ux
x x , y,z 2
yzt
uy

x, y y ,z 2

uy
为边界B2上某点（x， y，z）处的外法线方 向上的单位向量
已知函数， 定义在B2上
32
八、边界条件
第三类边界条件:指已知边界上溶质通量随时间变化 规律的边界条件，或称之为Cauchy边界条件。
已知函数
Cu DgradC n B3 f3x, y, z
孔隙平均流速
33

t

div



u

u



t
div

u

div

u



t

div
u

div
J
u u u
14
控制方程：质量守恒定理+Fick定律
J Dm grad C
七、源汇项：放射性生物化学反应
若研究对象是地下水中某种放射性物质作为示踪剂，
则它的浓度分布受对流和弥散的影响外，还将受到其自身
的放射性衰变的影响。
C C0et
C t

C0et
c
C t
div Dij

C x j


xi
C u c
4
二、水动力弥散
水动力弥散现象 多孔介质中，当存在两种或两种以上可混溶的流体
时，在流体运动作用下，期间发生过渡带，并使浓度 区域平均化的现象
5
三、 水动力弥散现象
水动力弥散
分子扩散
两部分
机械弥散
由浓度高的方 向向浓度底 的方向运动， 趋于均一
由于微观多孔介质中流 速分布的不均一而引起 的示踪剂（水质点）浓 度在地下水含水层中不 均匀分布的现象。
30
八、边界条件
边界条件指的是研究区边界上的溶质浓度分布和变化 情况或边界上流入（或流出）研究区的浓度分布和变化情 况。 主要有以下三类情况：第一类、第二类与第三类。
第一类边界条件：也叫给定浓度边界，即已知边界 上浓分布的边界。
C B1 f1x, y, z,t x, y, z B1,t 0
流体通量J

J

J












9
控制方程：质量守恒定理
在多组分组成的流体体系中任取一点P (x, y, z),以P为中 心取一微小的质量平衡体，其侧面分别平行与3个坐标面， 边长分别为△x、△y、 △z。
质量守恒原理:在时间 △t内，组分α在这个 单元体中的净流出 （或流出）量（暂不 考虑起内部有质量产 生和消失），应等于 这个单元中α组分的 质量变化
I W C n
表示失去的溶质 孔隙率 为抽水点处的溶质浓度
假设单位时间内从单位体积含水层中的抽水量为 W。
27
七、源汇项：抽水与注水
当注水时 若向含水层中注入含有示踪剂的水（示踪剂浓度C0）
I

W n
C0
C t

xi


Dij

C x j


xi
Cui
改写为：

t
divu
I
多组分流体体系中α 组分的质量守恒方程
13
控制方程：质量守恒定理（续）

t
divu

I
I 是多组分组成的流体中，单位体积流体在单位时间内，由于化 学反应或其它原因所产生（或消失）的α组分的质量。
I


t
div
u
为B1上的已知函数
为研究区D的第一类边界
31
八、边界条件
第二类边界条件：给定弥散通量边界,指已知边界弥散通 量随时间变化规律的边界条件，或者称之为Neumann 边界条件，
水动力弥散系数
研究区上的第二类边界
D gradC n B2 f2x, y, z,t x, y, z,t B2,t 0
Cx,y,z,0 C0x,y,z
初始条件确指原始状态；初始时刻可以任意选定，只要已知那一时 刻研究区各点的浓度即可。初始条件的如何选取，应该根据研究问 题的需要、资料状况及计算与模拟方法等因素确定。例如：t=0时向 某区域注入含示踪剂的水，若在此之前研究区D不含该示踪剂，则C （x，y，z）=0。如：在弥散试验时，可将示踪剂注入前浓度分布视 为初始状态。又如设计治理地下污水方案时，可将现状污染物分布 视为初始条件。


ux
x x , y,z 2

ux
x x , y,z 2
/
x
uy

x, y y ,z 2

uy
x, y y ,z 2
/ y



uz
x, y,z z 2

uz
x, y,z z 2
/ z
C y


y

Dyx
C x

Dyy
C y


x
C
ux

I
对于一维流动一维水动力弥散：
C t

x

Dxx
C x


x
C
ux

I
16
六、水动力弥散方程
简化成
（1）
多孔介质中溶质的分子扩散通量
（2）
多孔介质分子扩散系数，数值上小于


t
12
控制方程：质量守恒定理（续）
再对方程两端取极限，即令 x 0, y 0, z 0, t 0
即有：
ux uy uz
x
y
z
t
即

t

div

u


0
若微小的质量均衡体内存在着α组分的源汇项，则上式可
x, y y , z 2
xzt



uz
x, y,z z 2
uz
x, y, z z 2
xyt
xyz
11
控制方程：质量守恒定理（续）
其中： 经过△t时间后，质量均衡体中 的变化量。
将上式左右两端同除以 xyzt 得：
8
五、流体参数
流体的密度
N
N
1
N dm 1 dV

dm
1
dV
dm dV



多相分流体速度 组分流速
N

N






1 N

1
1




溶质的对流量
机械弥散通量
联立上述两式，得
17
六、水动力弥散方程
将所有平均号“-”略去
18
六、水动力弥散方程
19
七、源汇项
源汇项指在单位时间液相体积中由于化学反 应、生物化学作用或抽注水等产生减少α组 分质量的速率。
1） 放射性密度与化学、生物化学反应 2） 吸附与解吸 3） 抽水与注水
20
地下水流溶质运移理论及模型
第一章 水动力弥散的基本概念 第二章 水动力弥散方程
中国地质大学环境学院 2014春
一、流体类型
可混溶流体 两种或两种以上的流体在同一储集空间中不存
在明显的突变界面，见下图。如滨海含水层中海水 入侵地下淡水。（示踪剂） 不可混溶流体
多种（两种或两种以上）的流体在同一储集空 间中存在着明显的突变界面，见下图。如油、气、 水或其它有机物流体。（多相流体）
（i）对于非均衡吸附作用：
I K f C KrC
吸附作用常数 A A
解析作用常数 A A
24
七、源汇项：吸附与解吸
对于均衡吸附作用：
平衡常数
C
C
t

b
C t

b
Kd
C t
对于饱水多孔介质 θ=n=C（孔隙率）
C t


b
n
Kd

C t
25
七、源汇项：吸附与解吸
1
b
n
Kd

C t

xi
Dij
C xi

xi
Cui
C t

xi

Dij Rd

C x j


xi
C
ui Rd

Rd
2
一、流体类型
可混溶流体
不可混溶流体
石油污染物在水体 或含水层中的运移