反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积
一般地，如图1，过双曲线上任一点A 作x 轴、y 轴的垂线AM 、AN ，，所得矩形AMON 的面积为：S=AM×AN=|x|×|y|=|xy|. 又∵y=x
k
，∴xy=k. ∴AMON S 矩形=|k|.∴||2
1
k S AOM
=∆. 这就是说，过双曲线上任一点，做X 轴、Y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k|,这是系数k 的几何意义，明确了k 的几何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题： 1、求函数的解析式
例1如图2所示，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx =+的图象与反比例函数9
y x
=
的图象在第一象限相交于点A ．过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点B 、C ．如果四边形OBAC 是正方形，求一次函数的关系式．
解析 四边形OBAC 是正方形及反比例函数9
y x
=的图象
在第一象限相交于点A ，
则正方形OBAC 的面积为：S ＝xy ＝9，所以正方形的边长为3，即点A 的坐标（3，3，）。

将点A （3，3，）代入直线得y=3
2
x+1。

2.特殊点组成图形的面积
例2如图3，点A 、B 是双曲线3
y x
=
上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．
解析 由A,B 分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等， ∴S 1+S 阴影＝S 2+S 阴影＝xy ＝3. ∵1S =阴影，
∴12S S +=2＋2＝4。

例3如图4，A 、B 是函数2
y x
=
的图象上关于原点对称的任意图1
A
N M
X
Y O A
C
O
B
x
图2
x
y
A
B
O
1
S 2
S 图3
两点，
BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ．2S = B ．4S = C ．24S << D ．4S >
解析 ∵A 、B 是函数2
y x
=的图象上关于原点对称的任意两点， ∴△ABC 的面积记为S ＝4S △AOD =4×2
1
xy=4.
3、求字母的值
例4如图5，直线y=mx 与双曲线y=
x
k
交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 的值是（ ） A ．2 B 、m-2 C 、m D 、4 解析 ∵直线y=mx 与双曲线y=x
k
交于A 、B 两点，已知A,B 两点关于原点O 对称，所以ABM S ∆=2S △AOM =2×2
1xy=xy=2 ∴k=2。

例5如图6，已知双曲线)0k (x
k y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________．
解析：由双曲线)0k (x
k
y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ， 设点D 的坐标（x,y ），又DE ∥BA, ∴点B 的坐标为（2x,2y ）， ∵△OBC 的面积3,
∴
21OA.AB=21×2x×2y=2xy=2k=3, ∴k=2
3
.
4、求线段的长度
例6如图7，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数k
y x
=
的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）． 解析：∵AOB △的面积为1，
图5
图6
∴
2
1
k=1,k=2。

解方程组 y=x+1
Y=
x
2, 得 A 的坐标（1，2）。

由一次函数1y x =+的图象与x 轴相交于点C ， ∴OC=1,BC=2,AB=2,由勾股定理得AC ＝22。

5、探讨面积的变化
例7如图7，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线3
y x
=（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，
OAB △的面积将会（ ）
A ．逐渐增大
B ．不变
C ．逐渐减小
D ．先增大后减小 解析 ∵A 是x 轴正半轴上的一个定点， ∴OA 的长度是定值，即OAB △的底边一定。

∵点B 是双曲线3
y x
=
（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时， ∴纵坐标y 的值逐渐减小，故OAB △的面积将会逐渐减小，选B 。

6.确定自变量的取值范围
例8已知一次函数,11+=x y 点P 在反比例函数)0(2 k x
k
y =
的图象上,PA ⊥x 轴,垂足为A,PB ⊥y 轴,垂足为B,且四边形AOBP(O 为坐标原点)的面积为2. ⑴求k 值;
⑵求所有满足21y y =的x;
⑶试根据这两个函数的图象,写出满足21y y 的x 的取值范围(只需直接写出结论). 分析:根据四边形AOBP 的面积为2,可以求出反比例函数中的k 值.再利用21y y =转换为一元二次方程求出相应的x 值.
解:(1)四边形AOBP(O 为坐标原点)的面积为2,k=2. ⑵,2
1x
x =
+解得x=-2或x=1. ⑶由图象得当-2＜x ＜0或x ＞1时,满足21y y .
图8
x
图7
点拨:反比例函数常与一次函数结合起来考查,而反比例函数独有的特性就是反比例函数图象上任意一点向坐标轴做垂线,形成矩形的面积为|k|.
探究反比例函数中k 的意义
反比例函数x
k
y =
(k≠0)的比例系数k 的意义，除同学们熟悉的“当k >0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 的增大而减小；当k <0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 的增大而增大”外，还有一个非常重要
的意义，即过反比例函数x
k
y =
(k≠0)的图像上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，与两坐标轴所围成矩形的面积都等于k ；过反比例函数x
k
y =(k≠0)图像上任意一点作x 轴(或y 轴)的垂
线，且连结坐标原点，与坐标轴所围成三角形的面积都等于2
k .
探究1：若P (x ，y )为反比例函数x
k
y =
(k≠0)图像上的任意一点如图1所示，过P 作PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，求矩形PMON 的面积.
分析：S 矩形PMON =xy x y PN PM =⋅=⋅ ∵x
k
y =, ∴ xy=k, ∴ S =k .
探究2：若Q (x ，y )为反比例函数x
k
y =
(k≠0)图像上的任意一点如图2所示，过Q 作QA ⊥x 轴于A (或作QB ⊥y 轴于B )，连结QO ，则所得三角形的面积为：S △QOA =2
k （或S △QOB =
2
k ）.
（本题由同学们自己试着说明理由）
说明：当k >0时，所围成的矩形的面积为k ，三角形的面积为
2
k
；
当k <0时，所围成的矩形的面积为-k ，三角形的面积为2
k
-.以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关.
应用举例：
例1 如图3，在反比例函数x
y 6
-=（x ＜0）的图象上任取一点P ，过P 点分别作x 轴、
y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，那么四边形PMON 的面积为 ．
解：S 四边形PMON =66=-=k .
例2 反比例函数x
k
y =
的图象如图4所示，点M 是该函数图象上一点，MN ⊥x 轴，垂足为N.如果S △MON =2，求这个反比例函数的解析式．
解：∵S △MON =
2
k =2, ∴k =4, ∴k=±4．
又∵双曲线在第二、第四象限内，∴k ＜0， ∴k=-4, ∴所求反比例函数的解析式为x
y 4
-=．。