竞赛数学情况调查测试卷〔2005年8月27日〕一、选择题（每小题6分，共36分）1、函数x －1 ) (x ∈R, x ≠1) 的递增区间是 （ ）（A ）[2,＋∞) （B ）(－∞,0]或[2,＋∞)（C ）(－∞,0] （D ）(－∞,1－]或[,＋∞)2、方程2002x ＋2003x ＋2004x ＝2005x x －2006的实根个数为 （ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）至少3个3、已知f(x)＝asinx ＋b(a,b,c 为实数)，且f(lglog 310)＝5，则f(lglg3)的值是（ ）（A ）－5 （B ）－3 （C ）3 （D ）随a,b,c 而变4、若函数f(x)＝a 2sin2x ＋(a －2)cos2x 的图象关于直线x ＝－对称，则a 的值等于（ ）（A ）2或－ 2 （B ）1或－1 （C ）1或－2（D ）－1或2 5、已知(β－α2))＝1，则cos α＋cos β的值等于 （ ） （A ）1 （B ） （C ） （D ）6、已知在数列{a n }满足，a 1＝2＋，a n ＋2(1－a n )＝1＋a n ，则a 2005的值为 （ ）（A ）2＋（B ）2－（C ）－2 （D ）－2－二、填空题（每小题9分，共54分）7、在△ABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6,4sinB ＋3cosA ＝1，则∠C 的度数为 .8、已知函数x ―a ―1 )的反函数图象关于点(－1,4)成中心对称，则实数a ＝.9、已知一个4元集合S 的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16040，则S 的元素之和等于 .10、若3f(x －2005)＋4f(2005―x)＝5(x ―2005)，对所有实数x 成立，则f(x)的解读式是f(x)＝.11、函数f(x)＝的最小值是 .12、已知正整数n 不超过2005, 并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的正整数n 有 个.三、解答题（每小题20分，共60分）13、已知函数y ＝sinx ＋asin2xcosx..（1）当sinx ＝1时，求y 的值； （2分）（2）若函数的最大值为1，求实数a 的取值范围. （18分）14、n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列a 11 a 12 a 13… a 1na 21 a 22 a 23… a 2na31a32a33 (3)a41a42a43 (4)……………a n1a n2a n3…a nn其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知a24＝1, a42＝, a43＝，求S＝a11＋a22＋…＋a nn.15、某公司离火车站40千M，有12名该公司的职员出差，须从公司出发赶到火车站，他们步行的速度为4千M／时，当时公司仅有一辆同时可送4人的轿车，其速度为52千M／时.要求在3小时内将12名职员送到车站，还希望轿车第一批送的职员能尽早地到车站买票.试问第一批职员最早能比3小时提前多少时间赶到车站.江苏省苏州实验中学2005年暑期竞赛数学情况调查测试卷（参考答案）1、B原函数即为y ＝＝(x－1) ＋＋2，由对勾函数的增减性立知选B.2、B原方程即为＋＋＝，考查两个函数y＝＋＋和y＝，前者为减函数，后者为增函数，它们的图象有且只有一个交点，故对应的方程有且只有一个根，从而选B.3、C容易判断f(x)＋f(－x)＝8，且lglog310 ＝lg＝－lg＝－lglg3，故有f(lglog310)＋f(lglg3)＝8，从而f(lglg3)＝3.选C4、C 函数f(x)＝a2sin2x＋(a－2)cos2x的图象关于直线x ＝对称，则f()应取得函数的最大值或最小值。
所以，a2sin(×2)＋(a－2)cos(×2)＝±，由此解得a＝1或－2.选C5、A由题意得＋＝2, 即＝－，用余弦的和与差公式展开并利用合分比定理，可得＝, 即＝. 故cosαcosβ＝4sin2sin2＝(1－cosα)(1－cosβ)，故cosα＋cosβ＝1. 选A6、C首先易得a n≠1, 否则有0＝2的矛盾。
所以有a n＋2＝，则a n＋4 ＝＝＝－，从而我们可得a n＋4 ＝－＝，{a n}为周期为8周期数列.故a2005＝a250×8＋5＝a5＝a4＋1＝－＝－＝. 选C7、30°或150°两式平方相加，得9＋16＋24(sinAcosB＋sinBcosA)＝37，即有24sin(A＋B)＝12，所以sinC＝，故∠C＝30°或150°.8、3反函数关于点(－1,4)对称，则原函数关于点(4,－1)，又原函数即为，由平移规律立得其对称中心为(a＋1,－1)，与(4,－1)比较得a＝3.9、2005 在求所有子集元素和总和的时候，集合的每一个元素都被重复求和计算23＝8次，故集合S的元素之和为10、－5x令t＝x－2005，则原函数方程就变为3f(t)＋4f(－t)＝5t，对此式中以－t 代t得，由两式消去f(－t)可得－7f(t)＝35t，故f(t)＝－5t，即f(x)＝－5x.11、2原函数的定义域为(－∞,0]∪[2,＋∞)，且在(－∞,0]上为增函数，在[2,＋∞)为减函数，又f(0)＝2, f(2)＝>2，所以原函数的最小值为2.12、6可以计算出1＋2＋3＋…＋62＝1953, 1＋2＋3＋…＋63＝2016，这样看来，2005最多可表示为62个连续正整数的和。
下面分3种情况说明：（1）若n表示为62个连续正整数的和，则满足要求的n 只有一个为1953（因为2＋3＋4＋…＋63＝2015>2005)；（2）若n 表示61个连续正整数的和，设其中最小的正整数为m ，则由m ＋(m ＋1)＋…＋(m ＋60)＝＝61(m ＋30)≤2005可得m ≤2，从而满足要求的n 有两个：1＋2＋…＋61＝1891和2＋3＋…＋62＝1952；（3）若n 表示60个连续正整数的和，设其中最小的正整数为m ，则由m ＋(m ＋1)＋…＋(m ＋59)＝＝30(2m ＋59)≤2005可得m ≤3，从而满足要求的n 有三个为：1＋2＋…＋60＝1830，2＋3＋…＋61＝1890及3＋4＋…＋62＝1950.综合（1）（2）（3）得满足要的正整数n 共有6个，它们为：1953、1891、1952、1830、1890和1950.13、（1）显然，当sinx ＝1，时y ＝1（2）由（1）知，函数值中必有1，从而问题就是求使对任意x ，总有sinx ＋asin2xcosx ≤1，即g ＝sinx ＋asin2xcosx －1≤0成立的a 的取值范围。
令t ＝sinx (t ]1,1[-∈), 则g ＝sinx ＋a(2sinxcos 2x)－1＝sinx ＋2asinx(1－sin 2x)－1＝－2at 3＋(1＋2a)t －1＝(t －1)(－2at 2－2at ＋1)由t －10≤恒成立知，问题即要求使－2at 2－2at ＋10≥，即2at 2＋2at －10≤在t ]1,1[-∈时恒成立的a 的取值范围。
1）当a ＝0时，－10≤显然满足题意2）当a>0时，即为t 2＋t a 21-＝(t 21-)2)2141(a+-0≤在t ]1,1[-∈时恒成立，故有 (－121-)2)2141(a+-0≤ 结合a>0得，410≤<a 3）当a<0时，即为t 2＋t －＝－≥0在t ∈[－1,1]时恒成立，故有－≥0结合a<0得，－2≤a ＜0综合上述1）、2）、3），得所求a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,2 14、设第一行数的公差为d ，各列的公比为q ，则第二行的公差是dq ，第四行的公差为dq 3, 于是，由题设得出方程组⇒因为n 2个数均为正数，可知只能有a 11＝d ＝q ＝21 从而，对于任意n k ≤≤1，有a kk ＝a 1k q k －1＝[a 11＋(k －1)d]q k －1＝k k 2故S ＝n n 21...21321221132⋅++⋅+⋅+⋅（1） 这类数列的求和，我们通常用错位相减法，给（1）两边乘以21可得 143221...21321221121+⋅+⋅+⋅+⋅=n n S （2） (1)－(2), 得1322121...21212121+⋅-++++=n n n S ＝12211)211(21+---n n n 故可求得nn n S 22121--=- 15、把出发地称为A ，车站称为B 。
显然，职员必须分为3批乘车，每批4人，按乘车先后分别称他们为甲组、乙组、丙组。
不在车上的职员让他们在到达火车站之前保持步行前进。
假定轿车把甲组送到离A 的x 千M 处，然后返回接乙组。
当轿车接到乙组后，把乙组送y 千M ，再返回接丙组，显然整个过程决定于x 和y 的值。
1）设在3小时内从公司到火车站至少须乘车z 千M ，则有344052≤-+z z ， 解得391≥z 。
这说明乙，丙两组至少乘车距离为391千M 。
为了使甲组极早赶到火车站，应使乙、丙两组尽量减少乘车距离，所以，乙、丙两组乘车距离均为y ＝391千M 。
2）当轿车送出甲组x 千M 之后返回，当接到乙组时，已耗时284522x x =+。
此时，乙、丙两组离A 是7428x x =⨯千M ，离B 地是)740(x -千M 。
从此时开始，轿车送乙组391千M 后返回接丙组。
接到丙组已耗时84914522391=+⨯小时，这也是丙组从此时之后的步行时间。
所以在)740(x -千M 这段时间内，丙组步行距离为219148491=⨯千M ，乘车距离为391千M ，从而有7403912191x -=+ 解得x ＝3112 3）由上述1）和2）知，甲组抵达车站共耗时13184311240523112=-+小时，比3小时提前1321小时，约为1小时37分钟。