第四章第一节微分方程的基本概念基本内容1. 微分方程：含有未知函数、未知函数的导数(或微分)与自娈量之间的关系的方程称为微分方程。

未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。

2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数)(xyy=称为微分方程的解。

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。

3.特解：确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为定解条件，确定了通解中的任意常数后得到的解称为微分方程的特解。

习题选解1.试指出下列各微分方程的阶数（1）220 x dy y dx-=解：一阶（2）43()0 y y y y''''''-=解：二阶（3）220 d Q dQ QL Rdt Cdt++=解：二阶。

（4）(76)()0 x y dx x y dy-++=解：一阶（5）2sin ddρρθθ+=解：一阶（6）(5)20 y y y y''''-++=解：5阶2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解（1）30dy xy dx +=，3C y x = 解：因为343()dy C Cdxx x '==-，代入微分方程，得： 左边=333330dy C C xy dx x x +=-+==右边，所以3C y x =是微分方程的解。

（2）222220d y dyx x y dx dx -+=， 223y x x =-解：因为2(23)26dy x x x dx '=-=-，22(26)6d y x dx '=-=-代入微分方程，得： 左边222222262(26)2(23)0d y dy x x y x x x x x dx dx =-+=---+-==右边，所以223y x x =-是微分方程的解。

（3）0222=+dt dS dt S d ω，t C t C S ωωsin cos 21+=解：因为1212(cos sin )sin cos dSC t C t C t C t dt ωωωωωω'=+=-+，22212122(sin cos )cos sin d SC t C t C t C t dt ωωωωωωωω'=-+=--，代入微分方程，得： 左边22222212122cos sin (sin cos )d S dSC t C t C t C t dt dt ωωωωωωωωω=+=--+-+ 22112[()cos ()sin ]0C C t C C t ωωω=--+≠=右边，所以t C t C S ωωsin cos 21+=不是微分方程的解。

（4）0)(=++xdy dx y x ，x x C y 22-=解：由x x C y 22-=，得：22x C xy -=，两边微分，得：2)(2dx xy d -=，即xdx xdy ydx 2)(2-=+。

从而得0)(=++xdy dx y x ，所以x x C y 22-=是微分方程的解。

（5）02=-'xy y ，⎰-+=xt x x dteee y 0222解：因为22222222222()22221xxxx xt x xt x x x xt y e e e dt xe xe e dt e e xe xe e dt ----''=+=++=++⎰⎰⎰，代入方程，得到 左边22222222212()10xxx xt x x t y xy xe xe e dt x e ee dt --'=-=++-+=≠=⎰⎰右边，所以⎰-+=xt xx dte e e y 0222不是方程的解。

（6）y x y y x -='-2)2(，C y xy x =+-22解：方程C y xy x =+-22两边对x 求导，得：022='+'--y y y x y x ，解得x y xy y --='22，代入微分方程，得：左边=y x -2=右边，所以C y xy x =+-22是方程的解。

3.在下列各题中，确定函数关系中的常数，使函数满足所给的初始条件（1）,1)1(22=--x C y 2-==x y解：将2,0-==y x 代入方程，得：14=-C ，所以3=C 。

函数为223(1)1y x --=。

（2）x e x C C y 221)(-+=，==x y ，10='=x y解：由xex C C y 221)(-+=，得：xe C y 22-='x e x C C 221)(2-+-，将0,0==y x 代入原微分方程，1,0='=y x ；代入x e C y 22-='xe x C C 221)(2-+-，得：⎩⎨⎧-==121210C C C ，所以1,021==C C 。

函数为x xe y 2-=。

（3）)sin(21C x C y -=，1==πx y，='=πx y ；解：将1,==y x π代入原方程，得：=1)sin(21C C -π，所以01≠C ，又='y )c o s (21C x C -将0,='=y x π代入，得：=0)cos(21C C -π，从而0)cos (2=-C π，22ππ=-C ，22π=C ，代入=1)sin(21C C -π，得：11=C 。

函数为)2sin(π-=x y ，即x y cos -=。

4.设函数)()1(2x u x y +=是方程2)1(12+=+-'x y x y 的通解，求)(x u 。

解：由)()1(2x u x y +=，得：++=')()1(2x u x y )()1(2x u x '+，代入微分方程，得： 左22222(1)()(1)()(1)()11y y x u x x u x x u x x x ''=-=+++-+++22(1)()(1)x u x x '=+=+=右，从而1)(='x u ，C x dx x u +==⎰1)(。

5.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程（1）曲线上任一点的切线介于两坐标轴间的部分被切点等分解：设),(y x 为曲线上任意一点，则在该点处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，其中),(Y X 表示切线的坐标，令0=X ，得切线在y 轴上的截距为y x y Y '-=，即切线过),0(y x y '-点，令0=Y ，得切线在x 轴上的截距为y y x X '-=，即切线过)0,(y yx '-点，由题意，切点),(y x 是),0(y x y '-和)0,(y yx '-两点的中点，所以有：x y y x ='-)(21（或y y x y ='-)(21），即所求微分方程为0='+y x y（2）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方解：设),(y x 为曲线上任意一点，则在该点处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，其中),(Y X 表示切线的坐标，令0=X ，得切线在y 轴上的纵截距为y x y Y '-=，即切线过),0(y x y '-点，由题意有：2x y x y ='-。

（3）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标与纵坐标的平均值；解：设),(y x 为曲线上任意一点，则在该点处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，其中),(Y X 表示切线的坐标，令0=X ，得切线在y 轴上的纵截距为y x y Y '-=，即切线过),0(y x y '-点，由题意，有：2yx y x y +='-。

（5）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1。

解：设),(y x 为曲线上任意一点，则在该点处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，其中),(Y X 表示切线的坐标，令0=X ，得切线在y 轴上的截距为y x y Y '-=，即切线过),0(y x y '-点，令0=Y ，得切线在x 轴上的截距为y y x X '-=，即切线过)0,(y y x '-点，由题意，有：1|()()|12yy xy x y '--='。

第四章第二节一阶微分方程 基本内容1. 可分离变量方程：如果一个一阶微分方程能写成dx x f dy y g )()(=的形式那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

可分离变量方程求解方法为等式两边同时积分。

2. 齐次方程：如果一阶微分方程化为⎪⎭⎫⎝⎛=x y dxdy ϕ，则称此方程为齐次微分方程。

齐次方程求解方法为引入变量替换x yu =，代入齐次方程,到可分离变量方程。

3. 一阶线性方程：)()(x Q y x P dx dy=+称为一阶线性微分方程，如果 0)(≡x Q ，方程称为齐次的;如果)(x Q 不恒等于零，则方程称为非齐次的。

齐次线性方程求解公式为⎰-=dxx P Cey )(；非齐次的线性方程求解公式为[]dxe x Q C e y dx x P dxx P ⎰⎰-+⎰=)()()(。

4. 贝努利方程：形如()()ndyP x y Q x y dx +=(0,1)n ≠的方程称为贝努利方程。

当0=n 时,它是一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P dx dy=+；当1=n 时,它是一阶线性齐次微分方程0)]()([=-+y x Q x P dx dy。

贝努利方程求解方法为等式两边同除以ny ，得到111()()()(1)()(1)()n nnn dy d y yP x y Q x n P x y n Q x dx dx----+=⇒+-⋅=-。

令n y z -=1 ，方程转化为关于z 的一阶线性非齐次微分方程)()1()()1(x Q n z x P n dx dz-=-+。

求出这方程的通解后,以代z ，便得到伯努利方程的通解。

习题选解1.求下列微分方程的通解 （1）0ln =-'y y y x解：原微分方程为0ln =-y y dx dy x，分离变量，得：x dx y y dy =ln ，两边积分⎰⎰=x dx y y dy ln ，得到1ln ||ln |ln |ln C x y +=，即|||ln |1x C y =，x C y 1ln ±=。