梁截面上的正应力计算公式： M y
Iz
式中， M ：横截面上的弯矩 y ：任一点到中性轴的距离 ：截面的惯性矩
Iz
受压
受拉 中性轴
第二章 工程力学基础
上下对称的截面，最大应力出现在截面的上下边缘，且上 下边缘处的应力相等，其值为：
M ymax M M max Iz I z / ymax Wz
结构静止不动
结构上的平面任意力系保持平衡
平面任意力系的平衡条件： 所有各力在两个任选的坐标轴中每一轴上的投影的代数 和分别等于零；各力对于任一点取矩的代数和等于零。
X 0 用方程组可表示为： Y 0 M o 0
限制构件在x，y方向移动
限制构件转动
例1：图所示的水平横梁AB为简支梁，梁长4m，梁重P=8KN，重心在 梁的中点C，在梁的AC段上受均布荷载作用，q=1.5KN/m。求支座A 和B的支座反力。 解：选梁AB为研究对象，以A为原点建立如图所示的坐标系 由力系平衡条件：
X 0，X
A
0
B
Y 0，Y 2 1.5 8 N 0 M 0，4 N 21.51 28 0
A
A
B
解上列方程，得：
XA =0，NB =4.75KN，YA =6.25KN
第二章 工程力学基础
第二节 构件的强度计算
一、构件正常工作的条件
构件应具有足够的强度
第二章 工程力学基础
三、应力与应变
（一）应力
P P
第二章 工程力学基础
在构件截面上取一微小单元，其面积为ΔA，该 单元上受到的力为ΔP。 P 令： pm
A
称之为面积ΔA的平均应力，方向与ΔP一致。
P lim 当ΔA趋于无限小时， p 称为C点的应力 A 0 A
第二章 工程力学基础
可转动，可沿水平方向移动，但垂直方向不能移动。 仅承受铅垂力而不能承受水平力或弯矩。 NB
可动铰支座（1个约束，2个自由度）
第二章 工程力学基础
2）固定铰支座
可以转动，水平、垂直方向不能移动。
可承受任意方向力，但不能承受弯矩。
YA XA
固定铰支座（2个约束，1个自由度）
第二章 工程力学基础
3）固定端支座
构件正常工作的强度条件： max
N [ ] A
• [σ]由材料性能决定
杆内的最大应力不应超 过材料的容许应力[σ]
• σmax与外力有关
第二章 工程力学基础
（三）梁的强度计算 梁—受弯构件，承受垂直于梁轴线的荷载，
主要产生弯曲变形。
1、梁横截面上的内力（弯矩M、剪力Q） 例 3：简支梁AB，梁中间作用一集中力P，用 截面法求任一横截面上的内力。
第二章 工程力学基础
第一节 建筑结构受力分析
一、建筑结构的力学模型
实际的建筑结构的受力、支承情况很复杂，为 便于计算分析，应进行必要的简化，抽象出计算简 图，即力学模型。 进行结构计算需建立力学模型 不同结构体系的计算模型不同 结构的计算模型应合理、简单
第二章 工程力学基础
建筑结构力学模型的简化：
第二章 工程力学基础
杆件的变形形式主要有：
轴向拉伸、轴向压缩、剪、扭转、弯曲
拉伸
压缩
剪切
扭转
弯曲
第二章 工程力学基础
轴向拉伸与轴向压缩
当杆件受一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外 力时，杆件的变形为轴向的拉伸变形或压缩变形。
如框架结构的中柱、屋架中的杆件等。
剪切
当在杆件的横向作用一对大小相等、方向相反、相距很近 的外力时，杆件的变形主要是横截面沿外力方向相对的错 动变形。
杆件长度
轴向压缩的细长直杆，截面上的平均应力超过临界应 力值后，即会发生失稳破坏。
第二章 工程力学基础
长度系数μ的取值
作业：
1、某简支梁，梁长为L，梁上作用均布荷载q， 求梁跨中截面C上的内力。 q
L/2 C L/2
2、下图所示简支梁，梁长为L，梁上作用一集中力P， 求该梁跨中截面D上的内力。 P
◆ 结构构件本身的简化 ◆ 荷载的简化
◆ 支承情况的简化
1.结构构件本身的简化 取构件来自梁、柱）的轴线代替实际结构第二章 工程力学基础
2.荷载的简化 结构上的荷载类型： 集中力、分布力（均布荷载）、集中力偶
第二章 工程力学基础
3.支承情况的简化 三种支承：可动铰支座、固定铰支座、固定端支座 1）可动铰支座
◆ 轴向压缩的细长直杆 易发生失稳破坏 ◆ 钢结构构件易发生失稳破坏
第二章 工程力学基础
瑞士的数学力学家欧拉，于1744年得出细长直杆破坏时 的临界荷载为：
π 2 EI Fcr (μl ) 2
（欧拉公式）
欧拉临界应力：
cri
EI 2 (l) A
2
截面面积
弹性模量
截面惯性矩
杆端约束情况
L/2
D
L/2
作业：
3、列出下图所示平面力系的平衡方程。
x
q
h F
M
WZ称为抗弯 截面模量
对宽为b、高为h的矩形截面：
σmax
bh3 Iz 12
Iz bh2 Wz h/2 6
σmax
截面应力分布图
M max 梁正常工作的条件： max W [ ] z
第二章 工程力学基础
五、构件的稳定性
压杆失稳（屈曲）:当轴压杆压力达到临界压力Pcr，杆件丧失其 直线形式的平衡，产生新的变形形式。
第二章 工程力学基础
四、构件的强度计算
（一）构件的内力与截面法 内力：是指外力作用下引起的质点相互作用力的 变化量。 如轴力、剪力、弯矩等
求解内力的方法： 截面法—用一横截面把杆件截为两部分，取其中一 部分作为研究对象，利用平衡条件求出内力。
第二章 工程力学基础
例2：等截面直杆受轴向拉力P的作用，且直杆处于 平衡，P=50kN。求杆件任一截面的内力。
如连接钢梁的螺栓和铆钉。
第二章 工程力学基础
扭转
由一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆轴的力偶引起的 变形，表现为杆件的各横截面绕轴线相对转动。 扭转构件常见于各类机械的主轴及传动轴。
弯曲
由垂直于杆轴的力或作用在杆纵向平面内的力偶引起的 变形，表现为杆件的轴线由直线变为曲线。 建筑工程中的梁、板均为弯曲变形构件。
应力是矢量，通常可分解为垂直于截面的分量和与 截面相切的分量。 垂直于截面的应力分量σ称为正应力 与截面相切的应力分量τ称为剪应力或切应力
应力的单位：Pa，1Pa=1N/m2
工程上常用：MPa，1MPa=106 Pa
第二章 工程力学基础
（二）应变
P
l
l1
P
a1
a
杆件在轴向的总伸长变形量为： l l1 l 杆件在横向的总缩短变形量为： a a a1 l 令： 称为轴向线应变 l 称为泊松比 a 令： 称为横向线应变 a
强度是指在外力作用下构件抵抗破坏的能力。
构件应具有足够的刚度
刚度是指在外力作用下构件抵抗变形的能力。
构件应具有足够的稳定性
稳定性是指在外力作用下保持原有平衡状态的能力。
第二章 工程力学基础
二、杆件变形的基本形式
当构件长度远大于其横向尺寸时称之为杆件 杆件的几何形状和尺寸可用其轴线和垂直于 轴线的横截面两个特征来表示
支承端既不能转动也不能移动， 可承受弯矩或各方向力。
YA MA XA
固定端支座（3个约束，0个自由度）
第二章 工程力学基础 结构的力学模型
搁置于墙上的梁：
计算模型：简支梁
YA MA XA
计算模型：悬臂梁 嵌于墙内的阳台、雨篷
第二章 工程力学基础
二、平面力系平衡方程
多种力作用于物体上形成力系，当作用在物体上的力都分布在 同一平面内，且各力的作用线不交于一点也不相互平行时，称 这种力系为平面任意力系。
根据力系平衡条件：
X 0，N P 0
N’=P=50kN
解得： N=P=50kN
第二章 工程力学基础
（二）轴向拉伸或压缩构件的强度计算
例2中，若杆件截面积为0.01m2，求杆件的应力。
N 50KN 5 104 N 5MPa 由应力的定义， 2 2 A 0.01m 0.01m
剪力Q
弯矩M
第二章 工程力学基础
解： （1）由力系平衡求支座反力 P Y A YB 2
（2）由截面法求内力
由平面力系平衡方程：
Y 0，Y Q 0 M 0，Y x M 0
A
A
M YA Q
解得： Q YA ， M YA x
2、弯曲应力（梁的正应力） 梁截面上的内力 弯矩 M 剪力 Q 正应力σ 剪应力τ 截面应力