E
D
C
B
A
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．
即：ABCD AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≥⋅定理：在四边形中，有： ABCD 并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立；
()ABCD E BAE CAD ABE ACD
AB BE
ABE ACD AB CD AC BE AC CD
AB AE BAC EAD ABC AED AC AD BC ED AD BC AC ED AC AD
AB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BD
E BD A B C D ∠=∠∠=∠∆∆∴
=⇒⋅=⋅=∠=∠∴∆∆∴=⇒⋅=⋅∴⋅+⋅=⋅+∴⋅+⋅≥⋅证：在四边形内取点，使，则：和相似又且和相似
且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、四点共圆时成立；一、直接应用托勒密定理
例1 如图2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ．
分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为 繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA ·BC=PB ·AC ＋PC ·AB ， ∵AB=BC=AC ． ∴PA=PB+PC ． 二、完善图形 借助托勒密定理
例2 证明“勾股定理”：在Rt △ABC 中，∠B=90°，求证：AC 2=AB 2＋BC 2 证明：如图，作以Rt △ABC 的斜边AC 为一对角线的矩形ABCD ，显然ABCD 是圆内接四边形．
由托勒密定理，有 AC ·BD=AB ·CD ＋AD ·BC ． ① 又∵ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AD=BC ，AC=BD ． ② 把②代人①，得AC 2=AB 2＋BC 2．
例3 如图，在△ABC 中，∠A 的平分 线交外接∠圆于D ，连结BD ， 求证：AD ·BC=BD(AB ＋AC)．
证明：连结CD ，依托勒密定理，有AD ·BC ＝AB ·CD ＋AC ·BD ． ∵∠1=∠2，∴ BD=CD ．
故 AD ·BC=AB ·BD ＋AC ·BD=BD(AB ＋AC)． 三、构造图形 借助托勒密定理
例4 若a 、b 、x 、y 是实数，且a 2＋b 2=1，x 2＋y 2=1．求证：ax ＋by ≤1． 证明：如图作直径AB=1的圆，在AB 两边任作Rt △ACB 和Rt △ADB ， 使AC ＝a ，BC=b ，BD ＝x ，AD ＝y ．
由勾股定理知a 、b 、x 、y 是满足题设条件的．
据托勒密定理，有AC ·BD ＋BC ·AD=AB ·CD ． ∵CD ≤AB ＝1，∴ax ＋by ≤1．
四、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理
例5 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2=b(b ＋c)，求证：∠A=2∠B ． 分析：将a 2=b(b ＋c)变形为a ·a=b ·b ＋bc ，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b ，两对角线为a ，一底边为c ．
证明：如图 ，作△ABC 的外接圆，以 A 为圆心，BC 为半径作弧交圆于D ，连结BD 、DC 、DA ．∵AD=BC ，ACD BDC =∴∠ABD=∠BAC ． 又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．
依托勒密定理，有BC ·AD=AB ·CD ＋BD ·AC ． ① 而已知a 2=b(b ＋c)，即a ·a=b ·c ＋b 2． ②
∴∠BAC=2∠ABC ．
五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理
例6 在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶4，
分析：将结论变形为AC ·BC ＋AB ·BC=AB ·AC ，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．
如图，作△ABC 的外接圆，作弦BD=BC ，边结AD 、CD ． 在圆内接四边形ADBC 中，由托勒密定理， 有AC ·BD ＋BC ·AD=AB ·CD
易证AB=AD ，CD=AC ，∴AC ·BC ＋BC ·AB=AB ·AC ，
1.已知△ABC 中，∠B=2∠C 。

求证：AC 2=AB 2
+AB ·BC 。

【分析】过A 作BC 的平行线交△ABC 的外接圆于D ，连结BD 。

则CD=DA=AB ，AC=BD 。

由托勒密定理，AC ·BD=AD ·BC+CD ·AB 。

2.ABC BC P BC AC AB PK PL PN BC AC AB PK PL PM
∆=+
由外接圆的弧上一点分别向边、与作垂线、和，
求证：
PM AB
PL AC PK BC PM CP PM AB PL BP PL AC PK AP PK BC PM
CP PL BP PL BP PK AP PA
PB
PL PK LAP Rt KBP Rt LAP KBP PM
CP PM
AB PL BP PL AC PK AP PK BC CP
AB BP AC AP BC ABPC PC PB PA +=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅∴⋅=⋅⋅=⋅⇒=∴
∆∆∠=∠⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅=⋅可得：
由同理可得：相似和可知由即：利用托勒密定理有：，对于四边形、、证：连接。