2020高考数学模拟试题（理）《不等式》分类汇编1．（2020•桥东区校级模拟）已知函数()2|1|f x x mx =-+，m R ∈． （1）当3m =-时，求不等式()40f x +<的解集；（2）若函数()f x 的图象与x 轴恰好围成一个直角三角形，求m 的值．2．（2020•眉山模拟）已知函数()|1||21|f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x +…；（2）若函数()|2019||2021|g x x x a =+++-，若对于任意的1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．3．（2020•内蒙古模拟）已知函数()4()f x ax a R =+∈，()|2||1|g x x x =++-． （1）若1a =，求不等式()()f x g x >的解集；（2）若不等式()()f x g x >解集中包含(2,1)-，求a 的取值范围．4．（2020•五华区校级模拟）已知()|4||8|f x ax ax =--+． （1）当2a =时，解不等式()2f x <； （2）求()f x 的最大值．5．（2020•龙岩一模）已知函数()|1||2|f x x x a =++-． （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围．6．（2020•芮城县模拟）已知函数()|1||2|f x x a x a =+-+-． （1）若f （1）2<，求实数a 的取值范围； （2）若1a -„，x R ∈，求证：()4f x …．7．（2020•临汾模拟）设函数()|2|f x x a =+（其中0)a <． （1）解不等式：()3f x …； （2）若1a =-，解不等式1()||2f x x a+-<．8．（2020•长治一模）设函数()|22||2|f x x x =+-的最大值m ． （1）求m 的值．（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值．9．（2020•吉林二模）已知函数()16|21|f x x =--． （1）解不等式()|2|f x x +„；（2）若函数()y f x a =-存在零点，求a 的求值范围．10．（2020•河北模拟）已知函数()|2||21|f x x x =-+-． （1）求不等式()3f x …的解集；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且12a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．11．（2020•吉林二模）已知a ，b ，c 为正数，且满足8abc =，证明： （1）(4)(4)(4)216a b c +++…；（2）222()()()48a b b c c a +++++…．12．（2020•桂林一模）设a ，b ，c R ∈，且3a b c ++=．（1）求证：222(1)(1)3a b c +++-…； （2）若1t …，求证：222(1)()(2)3a b t c t -+-++…．13．（2020•福州一模）已知0a >，0b >，0c >，且2a b c ++=． （1）求2a b c ++的取值范围； （2）求证：14918a b c++…．14．（2020•新建区校级模拟）（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：2b a ca b c b+++…；（2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c x y z ++++的值．15．（2020•九江一模）已知函数2()1f x x x =-+，且m ，n R ∈． （Ⅰ）若22m n +=，求()2()f m f n +的最小值，并求此时m ，n 的值； （Ⅱ）若||1m n -<，求证：|()()|2(||1)f m f n m -<+．16．（2020•开封一模）已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长．证明： （1）3b c aa b c++…； （22>．答案解析1．（2020•桥东区校级模拟）已知函数()2|1|f x x mx =-+，m R ∈． （1）当3m =-时，求不等式()40f x +<的解集；（2）若函数()f x 的图象与x 轴恰好围成一个直角三角形，求m 的值． 解：（1）当3m =-时，2,1()2|1|325,1x x f x x x x x --⎧=--=⎨-<⎩…，当1x …时，()40f x +<即240x --+<，解得2x >； 当1x <时，()40f x +<即2540x -+<，解得65x >，此时无解． 综上，不等式的解集为(2,)+∞； （2）(2)2,1()(2)2,1m x x f x m x x +-⎧=⎨-+<⎩…，令()0f x =，则2(1)2x x m =+…或2(1)2x x m=<-，显然需要202m m -<<+，即22m -<<， 如图，则22(,0),(,0),(1,)22A B C m m m +-，22(1,),(1,)22AC m BC m m m=-=-+-u u u r u u u r ，依题意，222(1)(1)022AC BC m m m =--+=+-u u u r u u u r g ，解得3m =±．当3m =时，点C 在x 轴上方，不合题意，当3m =-时，满足题意． 故3m =-．2．（2020•眉山模拟）已知函数()|1||21|f x x x =++-．（1）解不等式()2f x x +„；（2）若函数()|2019||2021|g x x x a =+++-，若对于任意的1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当1x -„时，不等式()4f x „可化为：32x x -+„，解得：12x -…（舍去）； 当112x-<<时，不等式()4f x „可化为22x x -++„，解得：0x …，即102x <„； 当12x …时，不等式()4f x „可化为32x x +„，解得：1x „，即112x 剟．综上可得：不等式()2f x x +„的解集为[0，1]； （2）()|2019||2021|g x x x a =+++-，则()|2019||2021||20192021||2|g x x x a x x a a =--++---++-=-…， 3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪⎪⎩„…，图象如图： 则当12x =时，函数()f x 取最小值32， 若对于任意的1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立， 则3|2|2a -„， 解得：1722a剟． 故实数a 的取值范围为1[2，7]2．3．（2020•内蒙古模拟）已知函数()4()f x ax a R =+∈，()|2||1|g x x x =++-．（1）若1a =，求不等式()()f x g x >的解集；（2）若不等式()()f x g x >解集中包含(2,1)-，求a 的取值范围．解：（1）当1a =时，()4f x x =+，21,1()|2||1|3,2121,2x x g x x x x x x +>⎧⎪=++-=-⎨⎪--<-⎩剟．()()f x g x >Q ，∴2141x x x +<+⎧⎨>⎩或3421x x <+⎧⎨-⎩剟或2242x x x --<+⎧⎨<-⎩， 13x ∴<<或11x -<„，13x ∴-<<，∴不等式的解集为{|13}x x -<<．（2）由（1）知，()3min g x =．Q 不等式()()f x g x >解集中包含(2,1)-， ()34min g x ax ∴=<+对任意的(2,1)x ∈-恒成立，即1ax >对任意的(2,1)x ∈-恒成立，∴112a -剟， a ∴的取值范围为1[1,]2-．4．（2020•五华区校级模拟）已知()|4||8|f x ax ax =--+． （1）当2a =时，解不等式()2f x <； （2）求()f x 的最大值．解：（1）当2a =时，12,2()|24||28|44,4212,4x f x x x x x x ->⎧⎪=--+=---⎨⎪<-⎩剟． ()2f x <Q ，2x ∴>或44242x x --<⎧⎨-⎩剟， 2x ∴>或322x -<„，∴32x >-，∴不等式的解集为3{|}2x x >-．（2）()|4||8||(4)(8)|12f x ax ax ax ax =--+--+=Q „， ()f x ∴的最大值为12．5．（2020•龙岩一模）已知函数()|1||2|f x x x a =++-． （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围． 解：（1）当1a =时，21,2()|1||2|3,1221,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=++-=-⎨⎪-+<-⎩剟． ()4f x <Q ，∴2214x x >⎧⎨-<⎩或1234x -⎧⎨<⎩剟或1214x x <-⎧⎨-+<⎩， ∴522x <<或12x -剟或312x -<<-，∴3522x -<<， ∴不等式的解集为35{|}22x x -<<． （2）Q 对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=， 224m m ∴-+的取值范围是()f x 值域的子集．()|1||2||21|f x x x a a =++-+Q …，()f x ∴的值域为[|21|a +，)+∞，又2224(1)33m m m -+=-+…，|21|3a ∴+„，21a ∴-剟，∴实数a 的取值范围为[2-，1]．6．（2020•芮城县模拟）已知函数()|1||2|f x x a x a =+-+-． （1）若f （1）2<，求实数a 的取值范围； （2）若1a -„，x R ∈，求证：()4f x …．解：（1）由f （1）2<，得|||12|2a a +-<，又131,21|||12|1,0231,0a a a a a a a a ⎧->⎪⎪⎪+-=-+⎨⎪-+<⎪⎪⎩剟， ∴31212a a -<⎧⎪⎨>⎪⎩或12102a a -+<⎧⎪⎨⎪⎩剟或3120a a -+<⎧⎨<⎩， ∴112a <<或102a剟或103a -<<，∴113a -<<， ∴不等式的解集为1|13a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．（2）1a -Q „，()|1||2||12||31|134f x x a x a a a a a ∴=+-+--+=-=-厖， ()4f x ∴…．7．（2020•临汾模拟）设函数()|2|f x x a =+（其中0)a <． （1）解不等式：()3f x …； （2）若1a =-，解不等式1()||2f x x a+-<． 解：（1）|2|3(0)x a a +<Q …，23x a ∴+…或23x a +-„， ∴32ax -…或32a x --„，∴不等式的解集为33(,][,)22a a+--∞-+∞U ． （2）当1a =-时，由1()||2f x x a+-<，得|21||1|2x x -++<， ∴当1x <-时，1212x x ---<，解得23x >-，x ∴∈∅； 当112x -剟时，1212x x -++<，解得0x >，∴102x <„； 当12x >时，2112x x -++<，解得23x <，∴1223x <<； 综上，当1a =-时，不等式的解集为2(0,)3．8．（2020•长治一模）设函数()|22||2|f x x x =+-的最大值m ． （1）求m 的值．（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值． 解：（1）()|22||2||2|2|2|2f x x x x x =+-+-剟， 故2m =；（2），由2a b m +==，正实数a ，b ，由柯西不等式222()(11)()411a b b a a b b a +++++=++…，当且仅当a b =时，成立，所以22111a b b a +++…，故最小值为19．（2020•吉林二模）已知函数()16|21|f x x =--． （1）解不等式()|2|f x x +„；（2）若函数()y f x a =-存在零点，求a 的求值范围． 解：（1）不等式可化为|2||21|16x x ++-…，当2x -„时，原不等式可化为22116x x ---+…，解得173x -„；当122x -<„时，原不等式可化为22116x x +-+…，解得13x -„，不满足，舍去； 当12x >时，原不等式可化为22116x x ++-…，解得5x …， 所以不等式的解集为(-∞，17][53-U ，)+∞； （2）因为1172,2()1152,2x x f x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩…，所以若函数()y f x a =-，存在零点则可转化为函数()y f x =与y a =的图象存在交点， 数形结合可知16a „．10．（2020•河北模拟）已知函数()|2||21|f x x x =-+-． （1）求不等式()3f x …的解集；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且12a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．解：（1）33,21()|2||21|1,22133,2x x f x x x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-+-=+⎨⎪⎪-+<⎪⎩剟．()3f x Q …，∴3332x x -⎧⎨>⎩…或13122x x +⎧⎪⎨⎪⎩…剟或33312x x -+⎧⎪⎨<⎪⎩…， 2x ∴>或2x =或0x „，2x ∴…或0x „， ∴不等式的解集为{|2x x …或0}x „．（2）由（1）知，3()2min f x m ==，∴1322a b c ++=， 由柯西不等式，有222222211()[()11]()22a b c a b c ++++++…，2221a b c ∴++…，当且仅当2a b c ==，即13a =，23b c ==时取等号，222a b c ∴++的最小值为1．11．（2020•吉林二模）已知a ，b ，c 为正数，且满足8abc =，证明： （1）(4)(4)(4)216a b c +++…；（2）222()()()48a b b c c a +++++…．解：（1）0a >Q ，0b >，0c >，∴422a a +=++，同理422b b +=++422c c +=++=…∴(4)(4)(4)216a b c +++…，当且仅当2a b c ===时取等号， (4)(4)(4)216a b c ∴+++…．（2）a Q ，b ，c 为正数，且满足8abc =，∴22223()()()3[()()()]a b b c c a a b b c c a ++++++++，2223333)3(8)36431648abc ⨯=⨯=⨯=⨯=…当且仅当a b c ==时取等号，222()()()48a b b c c a ∴+++++…． 12．（2020•桂林一模）设a ，b ，c R ∈，且3a b c ++=．（1）求证：222(1)(1)3a b c +++-…； （2）若1t …，求证：222(1)()(2)3a b t c t -+-++…． 证明：（1） 由222229()[(1)(1)](1)(1)2(1)2(1)(1)2(1)a b c a b c a b c a b b c a c =++=+++-=+++-++++-+-222222222222(1)(1)[(1)]{(1)(1)][(1)]3[(1)(1)]a b c a b b c a c a b c +++-++++++-++-=+++-„（当且仅当1a =，0b =，2c =时等号成立）．故有222(1)(1)3a b c +++-…； （2）由3a b c ++=，可得222(2)(1)[(1)()(2)]t a b c t a b t c t +=++-+=-+-++222(1)()(2)2(1)()2()(2)2(1)(2)a b t c t a b t b t c t a c t =-+-+++--+-++-+ 2222222(1)()(2)[(1)()]{()(2)][a b t c t a b t b t c t -+-+++-+-+-+++„ 22222(1)(2)]3[(1)()(2)]a c t a b t c t -++=-+-++， 由1t …，有2(2)9t +…， 则1t …时222(1)()(2)3a b t c t -+-++…． 13．（2020•福州一模）已知0a >，0b >，0c >，且2a b c ++=． （1）求2a b c ++的取值范围； （2）求证：14918a b c++…． 解：（1）0a >Q ，0b >，0c >且2a b c ++=， 20a b c ∴-=+>，02a ∴<<，∴22217(2)()24a b c a a a ++=+-=-+， ∴2272(22)44a b c ++<+-=„， 2a b c ∴++的取值范围为7[,4)4．（2）0a >Q ，0b >，0c >，∴1494949()()14b a c a c b a b c a b c a b a c b c++++=++++++，14+…1436=+，当且仅当12,,133a b c ===时等号成立，又2a b c ++=，∴14918a b c++…． 14．（2020•新建区校级模拟）（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：2b a c a b c b+++…； （2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c x y z ++++的值．解：（1）由三元基本不等式知，1b a c b a b ca b c b a b c b+++=++-++12=…，当且仅当b a b ca b c b+==+时取等号， ∴2b a ca b c b+++…．． （2）由柯西不等式可得2222222()()()a b c x y z ax by cz ++++++…， Q 222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，结合上述不等式取等号， 可设(0)a b ck k x y z===>，即a kx =，b ky =，c kz =， 2222222()a b c k x y z ∴++=++，249k ∴=，∴23k =， ∴23a b c k x y z ++==++．15．（2020•九江一模）已知函数2()1f x x x =-+，且m ，n R ∈． （Ⅰ）若22m n +=，求()2()f m f n +的最小值，并求此时m ，n 的值； （Ⅱ）若||1m n -<，求证：|()()|2(||1)f m f n m -<+．解：（Ⅰ）2222()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n +=+-++=++， 法一：22m n +=Q ， 22m n ∴=-，∴2222277()2()(22)216856()333f m f n n n n n n +=-++=-+=-+…，()2()f m f n ∴+的最小值为73， 此时23m n ==； 法二：Q 22222222222111142(36)[2()4](44)(2)33333m n m n m m n n m mn n m n +=+=+++++=+=…，∴47()2()133f m f n ++=…，即()2()f m f n +的最小值为73， 此时23m n ==； 法三：由柯西不等式得：222222222211142()(111)()(2)3333m n m n n m n n m n +=++++++=+=…，∴47()2()133f m f n ++=…，即()2()f m f n +的最小值为73， 此时23m n ==； （Ⅱ）证明：||1m n -<Q ，22|()()||()()||||1||1|f m f n m n m n m n m n m n ∴-=---=-+-<+-g ，又|1||()(21)||||21|1(2||1)2(||1)m n n m m m n m m m +-=-+--+-<++=+„， |()()|2(||1)f m f n m ∴-<+．16．（2020•开封一模）已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长．证明： （1）3b c aa b c++…；（22>．解：（1）a ，b ，0c >，33b c a a b c ++=…；当且仅当a b c ==取等号，故原命题成立；（2）已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长，要证2>，只需证明22()a b c +>++，即证a b c >++，则有2b c a =+++，a >，b c >，三式左右相加得a b c ++， 故命题得证。