实变函数
(一学期课程，周学时4)
一.集合与点集 (20课时)
1.集合及其运算，集合列的极限，集合的直积。

(3课时)
2.映射，满射，单射，双射，集合的对等，Bernstein定理*，基数，可列集及
其性质，连续基数，基数运算*，无最大基数定理。

(5课时)
3.n维欧氏空间，点集的直径，矩体与球，邻域，距离，收敛，极限点，导集
及其性质，Bolzano-Weierstrass定理。

(5课时)
4.闭集,开集，闭包，内点与内核，开集的构造*，Cantor闭集套定理，Lindelof
可数覆盖定理*，Heine-Borel有限覆盖定理，函数的连续性，紧集，Borel 集，
F集，δG集，Cantor集。

(5课时)
σ
5.集合与集合的距离，点与集合的距离，连续函数延拓定理*。

(2课时)
二.Lebesgue测度 (12课时)
1. 外测度定义，外测度性质（非负性、单调性、次可加性），距离外测度性质*，
外测度的平移不变性。

(4课时)
2. 可测集与测度的定义，可测集的性质，关于递增可测集列及递减可测集列的
测度问题。

(4课时)
3. 矩体是可测集，分别用开集、闭集、
F集，δG集来逼近可测集，集合的等
σ
测包，测度的平移不变性，不可测集的存在性*。

(4课时)
三.可测函数 (10课时)
1. 可测函数的定义及等价刻画，可测函数的运算性质，简单函数逼近定理，函
数的支集。

(4课时)
2. 几乎处处收敛与测度收敛的定义，Egoroff定理，Lebesgue定理，Riesz定
理。

(4课时)
3. 可测函数与连续函数。

(2课时)
四. Lebesgue 积分 (14课时)
1. 非负可测简单函数的积分，非负可测函数的积分，Leve定理，积分线性性质，
逐项积分定理，Fatou定理。

(4课时)
2. 一般可测函数积分的定义与初等性质，积分的线性性质，积分的绝对连续性，
积分变量的平移变换，Lebesgue 控制收敛定理，逐项积分定理，积分号下求导数*。

(4课时)
3. 连续函数逼近可积函数，积分的平均连续性*。

(2课时)
3. 有界函数在区间上Riemann 可积的充分必要条件，Riemann 可积函数与
Lebesgue 可积函数的关系。

(3课时)
4. Tonelli 定理*，Fubini 定理，积分的几何意义*，分布函数*。

(3课时)
五. 微分与不定积分 (8课时)
1.单调函数的可微性*，Lebesgue 定理*，有界变差函数，Jordan 分解定理。

(4课时)
2.不定积分的微分，绝对连续函数，微积分基本定理。

(4课时)
六.p L空间 (8课时)
1.p L空间的定义与基本性质，共轭指标，Holder 不等式，Minkowski 不等式。

(4课时)
2.p L是完备的距离空间*，p L收敛，p L空间的可分性*。

(4课时)
教材或参考书：
1．周民强编：实变函数，北京大学出版社，2001
2．周性伟编：实变函数，科学出版社，2004
3．胡适耕编：实变函数，高等教育出版社，1999
4．曹广福编：实变函数论，高等教育出版社，2000。