分别交直线 AB于点 F、 M，试判断：此时是否仍有△ FDM∽△ COM？证明你的结论。
10、已知：如图 12，在直角梯形 ABCD中， AD∥ BC，BC＝ 5cm， CD＝ 6cm，∠ DCB＝ 60°，∠ ABC
＝ 90°。等边三角形 MPN（ N 为不动点）的边长为 a cm，边 MN和直角梯形 ABCD的底边 BC都
∥ AC ， EF 的延长线交 BC 的延长线于点 G．
（ 1）求证： BEF 是等边三角形； （ 2）若 BA 4 ， CG 2 ，求 BF 的长．
E
D
A
O
F
B
C
G
（图 5－ 11）
12、已知：如图， BD是⊙ O的直径，过圆上一点 BC∥ PA交⊙ O于 C，连结 AB、 AC。
A作⊙ O的切线交 DB的延长线于 P，过 B 点作 A
分的面积等于直角梯形 ABCD的面积，这时等边三角形的边长 a 至少应为多少？
（ 3）将直角梯形 ABCD向左翻折三次， 如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部
分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？
I
M
P DA
②
①
N
C
B
图 12
11、如图， ABC 是等边三角形， ⊙ O过点 B,C，且与 BA, CA 的延长线分别交于点 D,E．弦 DF
(1)请你连结 AD ，证明： AD 是⊙ O1的直径；
(2)若∠ E=60°，求证： DE 是⊙ O1 的切线。 分析： 解几何综合题，一要注意图形的直观提示，二要注意分析挖掘题目的隐含条件，
不断地由已知想可知，发展条件，为解题创条件打好基础。
证明：
（ 1）连接 AD ，∵ AC 是⊙ O2 的直径， AB ⊥DC
∴∠ BDE=30 ，∠ ADE= ∠ADB+ ∠BDE=60° +30°=90°
又 AD 是直径，
∴ DE 是⊙ O1的切线 证法二：连接 O1O2，
∵点 O2 在⊙ O1 上， O1 与 O2 的半径相等，
∴点 O1 在⊙ O2 ∴ O1O2=AO 1=AO 2， ∴∠ O1AO 2=60 ° ∵ AB 是公共弦，
(1) 若 AP=4，求线段 PC的长 ; （ 4 分） (2) 若Δ PAO与Δ BAD相似，求∠ APO的度数和四边形 OADC的面积 . （答案要求保留根号）
8、如图 7，已知 BC是⊙ O 的直径， AH⊥ BC，垂足为 D，点 A 为 ?BF 的
中点， BF 交 AD于点 E，且 BEgEF=32， AD=6. (1) 求证： AE=BE； (2) 求 DE的长； (3) 求 BD的长 .
9、如图 1：⊙ O的直径为 AB，过半径 OA的中点 G作弦 CE⊥ AB，在 CB 上取一点 D，分别作直
线 CD、ED交直线 AB于点 F、 M。 （ 1）求∠ COA和∠ FDM的度数； （ 2）求证：△ FDM∽△ COM；
（ 3）如图 2：若将垂足 G改取为半径 OB上任意一点，点 D 改取在 EB 上，仍作直线 CD、 ED，
例 2． 如图，矩形 ABCD的对角线 AC、 BD相交于点 O， E、 F 分别是 OA、 OB的中点．
（1）求证：△ ADE≌△ BCF；
（2）若 AD = 4cm ， AB = 8cm ，求 CF 的长．
解： （ 1）∵四边形 ABCD为矩形， ∴ AD＝BC， OA＝OC， OB＝OD， AC＝BD， AD∥ BC，
(1) 若△ APB为直角三角形，求 PB的长；
(2) 若△ APB为等腰三角形，求△ APB的面积。
P
O
A
B
3. 如图 l ，已知正方形 ABCD的对角线 AC、 BD 相交于点 O，E 是 AC上一点，连结 EB，过点 A 作 AM BE，垂足为 M， AM交 BD于点 F．
(1) 求证： OE=O；F (2) 如图 2，若点 E 在 AC的延长线上， AM BE于点 M，交 DB 的延长线于点 F，其它条件 不变，则结论“ OE=OF”还成立吗 ?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
PO
.
AG AB
4. 已知：如图，△ ABC内接于⊙ O，直径 CD⊥AB，垂足为 E。弦 BF 交 CD于点 M，交 AC于点 N，
且 BF=AC，连结 AD、 AM，
求证： (1) △ ACM≌△ BCM； (2)AD · BE=DE· BC； (3)BM 2=MN·MF 。
F A
N
D E MO
A
D
O
F
E
M
B
C
图1
A
D
O
M B
F
图2
C E
4．如图 11，在△ ABC中，∠ ABC＝ 90， AB＝ 6， BC＝ 8。 以 AB 为直径的⊙ O交 AC于 D， E 是 BC的中点，连接 ED
并延长交 BA的延长线于点 F。 （ 1）求证： DE是⊙ O的切线； （ 2）求 DB的长； （ 3）求 S△FAD ∶ S△FDB 的值
∴ AB ⊥ O1O2， ∴∠ O1AB=30° ∵∠ E=60°
∴∠ ADE=180° - （ 60° +30°） =90°
由（ 1）知： AD 是的⊙ O1 直径， ∴ DE 是⊙ O1的切线 .
说明： 本题考查了三角形的中位线定理、圆有关概念以及圆的切线的判定定理等。
练习一 1．如图，梯形 ABCD内接于⊙ O，AD∥ BC，过点 C作⊙ O的切线，交 BC的延长线于点 P，交 AD
A
∴∠ ABD=90° ,
∴ AD 是⊙ O1的直径 （ 2）证法一：∵ AD 是⊙ O1 的直径，
∴ O1 为 AD 中点 连接 O1O2， ∵点 O2 在⊙ O1 上，⊙ O1 与⊙ O2 的半径相等， ∴ O1O2=AO 1=AO 2
O1
O2
C D
B E
∴△ AO 1O2 是等边三角形， ∴∠ AO 1O2=60 ° 由三角形中位线定理得： O1O2∥DC， ∴∠ ADB= ∠AO 1O2=60 ° ∵ AB ⊥ DC，∠ E=60 ，
C
B
5. 已知：如图，△ ABC中， AC＝ BC，以 BC为直径的⊙ O交 AB 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC于点 E， 交 BC的延长线于点 F． 求证：（ 1） AD＝BD；
A
（ 2） DF是⊙ O的切线．
D
E
B
O
C
F
二、几何计算型综合题
解这类几何综合题，应该注意以下几点： （1）注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，或通过添加辅助线补全 或构造基本图形； （2）灵活运用数学思想与方法 .
D
C
B
?O?O1
E
F
5．如图，已知四边形 ABCD内接于⊙ O， A 是 B?DC 的中点， AE⊥ AC于 A，与⊙ O及 CB的延长
线分别交于点 F、E，且 ?BF ?AD ， EM切⊙ O于 M。
⑴△ ADC∽△ EBA；
⑵
AC
2＝
1 2
BC·CE ；
⑶如果 AB＝ 2，EM＝ 3，求 cot ∠ CAD的值。
的延长线于点 E，若 AD=5， AB=6， BC=9。 ⑴求 DC的长； ⑵求证：四边形 ABCE是平行四边形。
2．已知：如图， AB是⊙ O的直径， 点 P 在 BA 的延长线上， PD切⊙ O于点 C，BD⊥ PD，垂足
为 D，连接 BC。
求证：（ 1） BC平分∠ PBD；（ 2） BC 2
C
DAB来自O4．如图 , AD 是 ABC 的角平分线 , 延长 AD 交 ABC 的外接圆 O 于点 E , 过 C、 D、E 三
点的圆 O1 交 AC 的延长线于点 F ，连结 EF、DF ．
A
(1) 求证： AEF ∽ FED ；
(2) 若 AD 6, DE 3 , 求 EF 的长； (3) 若 DF ∥ BE , 试判断 ABE 的形状，并说明理由．
B F
∴ OA＝OB＝ OC，∠ DAE＝∠ OCB，∴∠ OCB＝∠ OBC， D ∴∠ DAE＝∠ CBF．
O
（例 2 题）
C
又∵ AE＝ 1 OA， BF＝ 1 OB，∴ AE＝ BF，
2
2
∴△ ADE≌△ BCF．
（ 2）解：过点 F 作 FG⊥ CD于点 G，则∠ DGF＝ 90o，
∵∠ DCB＝ 90o，∴∠ DGF＝∠ DCB，
练习二 1. 已知：如图，直线 PA 交⊙ O于 A、E 两点， PA 的垂线 DC切⊙ O于点 C，过 A 点作⊙ O的直径 AB。
（ 1）求证： AC平分 DAB； （ 2）若 DC＝4， DA＝ 2，求⊙ O的直径。
2．已知：如图，以 Rt △ABC的斜边 AB为直 径作⊙ O，D 是⊙ O上的 点，且有 AC=CD。过点 C 作⊙ O的切线，与 BD的延长线交于点 E， 连结 CD。
能力提高
1、如图矩形 ABCD中，过 A， B 两点的⊙ O切 CD于 E，交 BC于 F， AH⊥ BE于 H，连结 EF。 （ 1） 求证：∠ CEF＝∠ BAH （ 2） 若 BC＝2CE＝ 6，求 BF 的长。
2．如图，⊙ O的弦 AB=10， P 是弦 AB所对优弧上的一个动点， tan ∠ APB=2，
P
O
D
B
（1） 求证： AB=AC； （2） 若 PA=10， PB=5，求⊙ O的半径和 AC的长。
C
13、如图， AB是△ ABC的外接圆⊙ O的直径， D 是⊙ O上的一点， DE⊥ AB于点 E，且 DE的延长 线分别交 AC、⊙ O、 BC的延长线于 F、 M、 G.