n
x ij a i , i 1 , 2 , , m
j1
m
x ij b j , j 1 , 2 ,
,n
i1
x ij mj0和个,，i产1应地, 该2运1,等,到2于销,销n地地j的j,的运m销量量的。总
5
举例说明
某部门三个工厂生产同一产品的产量,四个 销售点的销量及单位运价如下表：
i
ei em j
m+j
0
10
运输问题的对偶问题
对产销平衡运输问题
u1,u2,L,um前m个约束等式相应的对偶变量
v1,v2,L,vn后n个约束等式相应的对偶变量
即对偶变量为
Y ( u 1 ,u 2 ,L ,u m ,v 1 ,v 2 ,L ,v n )
11
x11 x12 L x1n a1
1
b2
B 产量 n
x a c 1 n 1n 1
x a c 2 n 2n 2
x a cmn mn m
bn
3
产销平衡问题—总产量=总销量 即
m
n
ai bj
i 1
j 1
产销不平衡问题—总产量=总销量
4
产销平衡问题的数学模型
min z 产和m 地，i运应n 到该cn等个ij于x销产ij地地的i的运产量量的。总 i1 j1
销量： b1,b2,,bn
从产地 A i 到销地B j 的单位运价是c ij 。
求总运费最小的调度方案。
2
决策变量 x ij 表示由 A i 到 B j 的运量。
B1 B2
A x x c11
c12
1 11 12
A x x c21
c 22
2 21 22
A x x c m 1
cm2
m m1 m 2
b 销量
r(A)mn1
7
把m+n个约束分别展开，
x11 x12 L x1n a1
m个Lx21
x22 L
L L
x2n L
a2
xm1 xm2 L xmn am
写出其 (m+n) *(m*n)
x11 x21 L xm1 b1
维的
n个
Lx12
x22 L
L L
xm2 L
b2
系数 矩阵
x1n x2n L xmn bn
u1
m个Lx21
x22 L
L L
x2n L
a2
u2 M
xm1 xm2 L xmn am u m
x11 x21 L xm1 b1
v1
n个
Lx12
x22 L
L L
xm2 L
b2
v2 M
x1n x2n L xmn bn v n
12
运输问题的对偶问题
运输问题的对偶问题可写为
m
B1 B 2 B 3 B 4 产量
A1
4 12
4 11 1 6
A2
2 10
3 9 10
A3
8
5 11
6 22
销量 8 1 4 1 2 1 4 4 8
6
运输问题数学模型的特点
运输问题肯定有最优解
运输问题约束条件的系数矩阵（下页）
– 约束条件系数矩阵每一列只有两个1，其余 为0；
对产销平衡问题
– 约束条件均为等式，且产量之和=销量之和； – 约束条件的独立方程最多有m+n-1个，即
8
x 1 x 1 1 2 x 1 n x 2 x 2 1 2 x 2 n x m 1 x m 2 x m
1 1
1
1
1 11
P2n
1 1
1
1
1
Hale Waihona Puke 11 11 m
1
n
1
9
x ij 的列向量
0
其中
ei
0 1 0 0
0
P ij
0 1 0 0 1 0
第一节 运输问题及其数学模型
运输问题是一类特殊的线性规划 问题，本节介绍运输问题的数学模型 及其约束方程组的系数矩阵结构的特 殊性，运输问题的对偶问题及其对偶 变量。
1
典型背景：单一物资的运输调度问题
设某种物品有: m个产地： A 1,A 2,,A m
产量： a1,a2,,am
n个销地： B 1,B 2,,B n
n
m ax z aiu i b j v j
i 1
j 1
u i v j cij , i 1,L , m ;
s .t .
j 1,L , n.
ui
,
v
j
无
约
束
13
下一节 表上作业法
最小元素法 伏格尔法
14