有时候把两个表写在一起:
销地 产地 1 2 . . . m 销量
销地 产地 1 2 . . . m
1
2
…
n
产 量 a1 a2 . . . am 销地 产地 1 1 2 … n 产 量 a1 a2 . . . am
b1
1
b2
2
…
…
bn
n
2 . . . m
销量
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n . . . . . . . . . cm1 cm2 … cmn b1 b2 … bn
B2 10 4 5 6 14 6 5 3 4 3+4 B3 B4’ B4’’ 产量 （万台） 10 12 10 10
4
4 2
6
4
Global optimal solution found at iteration: 8 Objective value: 172.0000
销地 厂家 1 2
1
2
3
4
销地 厂家 A1 A2 A3 最高需求（万台）
31
x
32
x x x x x
33
x 2 3 4 6
34
7
x 11 x x 12 x x 13 x x 14 x x
ij
21
31
22
32
23
33
LINGO求解
24
34
0
设有三个电视机厂供应四个地区某种型号的电视机。 各厂家的年产量、 销地 各地区的年销售量以及 B1 B2 B3 厂家 各地区的单位运价 A1 6 3 12 如右表， A2 4 3 9 试求出总的运费最省的 A3 9 10 13 6 14 0 最低需求（万台） 电视机调拨方案。
x ij a i ( i 1 , , m ) j1 m s . t . x ij b j ( j 1 , , n ) i1 x 0 ij
2）求解方法: 转化为产销平衡问题
销大于产时，在产销平衡表中增加一个假想的产地 i = m+1， 该地产量为 在单位运价表中， 从假想产地到各销地的单位运价为

m
n

i1
ai

j1
bj
1
2 . . . m
x11 x12 … x1n x21 x22 … x2n . . . . . . . . . xm1 xm2 … xmn
a1 a2 . . . am
m
n
min
n
z

i1 j1
销量
c ij x
ij
b1 b2 … bn
二．问题的概述
在线性规划中研究这样一类问题： 有某种物资需要调运，这种物资的计量单位可以是重量， 包装单位或其他。 已知: 有m 个地点可以供应该种物资（统称产地，用 i =1,…,m 表示）； 有 n 个地点需要该种物资（统称销地，用 j =1,…,n 表示）。 又知 m 个产地的可供量（统称产量）为a1 , a2, …, am（统写为a i ）； n 个销地的需要量（统称销量）为b1 , b2, …, bn（统写为 b j ）。 从第 i 个产地到第 j 个销地的单位物资运价为c i j 。
5 12 6 不限
产量 （万台）
10 12 10 10
销地 厂家 A1 A2 A3 A4
B1’
B1’’
B2 10 4
B3
B4’
B4’’
产量 （万台） 10 12 10 10
6
2 2 4
5 6
3 4
销量
6
14
6
5
3+4
总运价:172元
销地 厂家 A1 A2 A3 A4 销量 B1’ B1’’
Lingo求解
上面这些数据通常用产销平衡表和单位运价表来表示。
产销平衡表 销地 产地
单位运价表
1
2
…
n
产量
销地 产地
1
2
…
n
1 2 . . . m
销量
a1 a2 . . . am b1 b2 … bn
1
2 . . . m
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n . . . . . . . . . cm1 cm2 … cmn
j 1
c ij x ij c ij x ij
n ij i x x ij a j j 1 1 mm x x ij b 1 ij j i i 1 x x ij 0 0 ij
i 1
销地 产地
1
2
… n
a ( i 1, , m ) ( i i 1, , m )
c m 1, j 0
产地 1 2 . . . m 销地

n m

j 1
b
j


i 1
ai
1
c11 c21 . . . cm1
2
…
n
产量
a1 a2 . . . am
就转化为产销平衡的运输问题。
具体做法如下：
c12 … c1n c22 … c2n . . . . . . cm2 … cmn
最高需求（万台） 销地 厂家 A1 A2 A3 A4 销量 B1’ 6 4 9 M 6 B1’’ 6 4 9 0 4 B2 3 3 10 M 14 B3 12 9 13 0 6 B4’ 6 － M 10 M 5 10 B4’’ 6 － M 10 0 7 14
B4 6 － 10
产量 (万台) 10 12 10
1
2
…
n
产 量 a1 a2 . . . am
产 量 a1 a2 . . . am
1
2 . . . m
销量
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n . . . . . . . . . cm1 cm2 … cmn
b1 b2 … bn
min min
n
z z

m
i 1
j 1
m+1 销量
0
0 … 0
短缺
b 1 b 2 … bn
应用实例
设有A1、A2、A3三个产地生产某种物资，产量分别为7、5、7吨， B1、B2、B3、B4四个销地需要该物资，销量分别为2、3、4、6吨。 又知各产销地之间的单位运价见下表， 试决定总运费最少的调运方案。
销地 产地 B1 B2 B3 B4 4 9 2
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n . . . . . . . . . cm1 cm2 … cmn
三．运输问题模型
设 xij 代表从第 i 个产地调运给 第 j 个销地的物资数量。 在产销平衡的条件下，要求解 运输问题使总的运费支出最小， 则有如下的运输问题数学模型：
m n
n
销地 产地
B1 B2 B3 6 4 9 10
B4
产量 (万台) 10 12 10
x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24
3
min z 6 x 11 3 x 12 最低需求（万台） 4 x 6 14 x 22 0 9 5 23 12 x 13 6 x 14 3 x 21 1000 x 24 9 x 31 10 x 32 13 x 33 10 x 34 min z 6 x 11 3 x 12 12 x 13 6 x 14 4 x 21 3 x 22 9 x 23 x 11 x 12 x 13 x 14 10 1000 x 24 9 x 31 10 x 32 13 x 33 10 x 34 x x 22 x 23 12 x 11 x 12 x 13 x 14 10 21 x x x x 10 31 32 x 33x 22 34x 23 12 21 x 33 6 x 11 x x 21 x x 31 10 x 34 10 31 32 s .t . x x 226 xx32 14 x 10 11 x 21 12 31 x x x x x 6 x 14 13 23 12 33 22 32 Lingo求解 x 14 x 34x 5 x 23 x 33 6 13 x 0 x 14 x 34 5 ij
a1 a2 . . . am
m in
n
z


i 1 j 1
i
c 销量 ij b b … x ij 1 2
bn
s.t.
x ij j 1 m x ij i 1
a b
( i 1, , m ) ( j 1, , n ) 0
j
3
4
6
4
销地 产地 A1 A2 A3 销量
产量 7 5 7
用表上作业法计算， 求得最优调运方案为：
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产量 7 5 7
3
销地 产地
B1
B2
B3
B4
A1 A2 A3
销量
x11 x21 x31
2
x12 x22 x32
3
x13 x23 x33
4 min
x14 x24 x34
6 z
销地 产地 1 2 … n
n+1
0 0
产量
1
2 . . . m 销量
c11 c21 . . . cm1
c12 … c1n c22 … c2n . . . . . . cm2 … cmn