《概率论与数理统计》课程重点与难点要记第一章：随机事件及其概率题型一：古典概型1．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，求最小号码为5的概率，及最大号码是5的概率。

2．设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率： 1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； 2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。

3．一盒子中有10件产品，其中4件次品，每次随机地取一只进行检验， 1）求第二次检验到次品的概率； 2）求第二才次检验到次品的概率。

4．在1－2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？（合理的设置事件，通过概率的性质解题也很重要） 课后习题：P16：2，3，4，5， 7，9，10，11，12，13，14 P30：8，9，10，16题型二：利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率1。

3人独立去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3，问能将此密码译出的概率。

2。

设口袋有2n-1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。

3。

设袋中装有a 只红球，b 只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m 只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。

课后习题：P23：1，2，3，4，6，10，11 P28：1，2，4，5，6，7，9，10，12，13题型三：全概率与贝叶斯公式1．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。

知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求： （1）学生回答正确的概率；（2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。

2．一通讯通道，使用信号“0”和“1”传输信息。

以A 记事件收到信号“1”，以B 记事件发出信号“1”。

已知()0.4,(/)0.95,(/)0.90P B P A B P A B ===。

1）求收到信号“1”的概率？ 2）现已收到信号“1”，求发出信号是“1”的概率？课后习题：P23：7，8，9，12 P31：19，26，27，28第二章：随机变量及其分布题型一：关于基本概念：概率分布律、分布函数、密度函数1．一房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。

有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。

鸟在房间里飞来飞去，试图飞出房间。

假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。

1）以X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X 的分布律；2)户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试次数不多于一次。

以Y 表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数。

如户主所说是确实，试求Y 的分布率。

3）写出Y 的分布函数。

2．以X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分钟计），X 的分布函数是：0.41,0()0,0x X e x F x x -⎧->=⎨≤⎩试求：1）P （3分钟至4分钟之间）2）P （至多三分钟或至少4分钟）3）P （恰好3分钟）4）X 的密度函数。

3．设随机变量X 的密度函数为,01()2,120,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它试求X 的分布函数。

课后习题：P41：1，3，4，7，8，9 P45：2，3，4，5，6 P60：6，9，11题型二：关于六种重要的分布1．某种型号器件的寿命X （以小时记）具有以下的概率密度21000,1000()0,x f x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩其它现有一大批此种器件（设各种器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有1只寿命大于1500小时的概率是多少？（几种分布揉合在同一题当中，要注意分布的识别） 2．某地区18岁的女青年的血压（收缩压，mmHg 计），服从2(110,12)N 分布，在该地区任选一18岁的女青年，测量它的血压X ，试求：1）{}105P X <2）{}100120P X ≤< 3）确定最小的x ，使{}0.05P X x >≤。

课后习题：P42：10，12，13 P53：5，6，7，11，12，13，14题型三：关于随机变量函数()Y g X =的分布1．设(0,1)X N ，求 1）XY e = 2）21Y X =+的概率密度函数。

课后习题：P59：1，2，3，4 P60：20，21第三章：多维随机变量及其分布题型一：二维连续型随机变量的密度函数、边缘密度函数，及X 与Y 独立性的判定。

1．设(,)X Y 在曲线2,y x y x ==所围成的区域G 内服从均匀分布，试求 1）(,)X Y 的联合密度函数， 2）X 和Y 的边缘密度函数，3）同时判定X 与Y 是否相互独立。

课后习题：P71：7，8，9，10题型二：二维连续型随机变量的和分布：Z X Y =+的分布 1．设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度函数分别为1,01,0()()0,0,0y X Y x e y f x f y y -≤≤⎧>⎧==⎨⎨≤⎩⎩其它 求随机变量U=X+Y 的概率密度函数。

课后习题：P86：5，6 P89：16题型三：二维离散型随机变量的分布律及其随机变量函数的分布律的建立、边缘分布律、及X 与Y 独立性的判定。

1．将一枚硬币投掷三次，以X 表示前2次中出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，试求：1）（X ，Y ）的联合分布律 2）Y —X 的分布律 3）XY 的分布律2．将一枚硬币投掷三次，以X 表示前2次中出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，试求：2）分别关于X 和Y 的边缘分布律 2）判定X 与Y 是否独立，并说出理由。

课后习题：P71：3，P86：2，3 P87：1，3 P89：15第四章：随机变量的数字特征题型一：关于随机变量和随机变量函数(,)Z g X Y =的期望与方差的计算,二维随机变量的协方差或相关系数的计算，同时掌握独立和相关性的判定方法。

1试求：1）E （X ） 2）D （X ） 3）E （XY ） 4）E （X －Y ） 5）COV(X,Y) 6) ,X Y ρ7）X 与Y 是否相关，是否独立？2．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为221,1(,)0,x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它 试求：1）E （X ） 2）D （X ） 3）E （XY ） 4）E （X+Y ） 5）COV(X,Y) 6) ,X Y ρ7）X 与Y 是否相关，是否独立？课后习题：P96：2，6，7，8，9，10，11，12，13 P104：2，4，7，8，9P113:1，3，4，7，8，9第五章：数理统计的基础知识题型一：运用定义证明一些简单的统计量所服从的分布 1．已知()X t n ，求证2(1,)X F n 。

2．设总体,X Y 独立且都服从正态分布2(0,)N σ，已知12,,...,m X X X 与12,,...,n Y Y Y 是分别来自总体,X Y的简单随机样本，求统计量mT =的分布。

题型二：来自正态总体抽样，利用定理结论或定义，计算某些统计量落在某些区间的概率问题1．在总体2(52,6.3)N 中随机抽一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率。

2．设在总体2(,)N μσ中抽得一容量为16的样本，这里2,μσ均未知，求{}222.041SP σ≤。

3．设1210,,...,X X X 为2(0,0.3)N 的一个样本，求1021 1.44i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑课后习题：P142，2，3，4，5，P148：2，4，6第六章：参数估计&第七章：假设检验题型一：点估计：矩估计法，极大似然估计法1．设12,,...,n X X X 是取自总体X 服从Possion 分布，求关于未知参数λ的极大似然估计量与矩估计量。

2．设随机变量X 的概率密度为1,01(,)0,x f x θ≤≤=⎪⎩其它其中0θ>为未知参数。

设12n X ,X ,.......,X 是总体的一组样本，分别求参数θ的极大似然估计量与矩估计量。

3．分别求均匀分布(0,)U θ关于θ的矩估计和极大似然估计。

课后习题：P164：1，2，3，4，5，6题型三：区间估计类型：一个正态总体关于均值，关于方差的双侧区间估计（注：详见P171-172：单个正态总体参数的置信区间）1．设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为 6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0设干燥时间总体服从正态分布2(,)N μσ，求μ的置信水平为0.95的置信区间： （1）若有以往经验知0.6σ=小时， （2）若σ未知。

课后习题：P180：1，2，3，4，5，6题型四：假设检验类型：一个正态总体关于“均值”，关于“方差”的双侧假设检验（注：详见P194：正态总体的假设检验一栏表）1． 在生产线上装配某种产品，在正常情况下，一件产品所需的装配时间（以min 计）2(10,1.4)X N ，某日管理人员随机的观察了25只产品的装配时间，得到样本的均值10.45x =，据以往经验知 1.4σ=不会改变。

问管理员可否怀疑平均装配时间与10有显著差异？0.05α=。

课后习题：P193：1，3，4，5，6，7（注意：复习卷所列题目和课后习题同样重要）全书填空题1． 设某人向靶子射击3次，用i A 表示“第i 次射击击中靶子”（i ＝1，2，3）,试用事件i A 表示下列事件：（1）三次均未中靶123A A A ，（2）三次中至多有两次中靶123A A A ，（3）三次中恰有两次中靶123123123A A A A A A A A A ++。

2．已知()1/3,()1/4,()1/2P A P B P A B ==⋃=，则()P A B ⋃＝ 11/12 ，(/)P A B A B ⋂⋃＝ 1/6 。

3．已知()2,1E X DX ==，则2(21)E X +＝ 11 。

4．设随机变量ξ的密度函数为2,01()0,x x x ϕ<<⎧=⎨⎩其它，则(2)P X <＝ 1 ，(0.4)P X =＝ 0 。

5．某人打靶的命中率为0.8，现独立射击10次，请写出10次射击中命中次数的概率分布律的通项表达1010()(0.8)(0.2),0,1,2, (10)k k P X k C k -===。

6．设随机变量2694()x x X f x ++-=，则X 服从的分布是 N(3,2),服从的分布是 N(0,1) ，X 分布的期望 3 ，方差 2 。