本科毕业论文（ 2010 届）题目线性方程组的直接解法及matlab的实现学院数学与信息工程学院专业数学与应用数学班级2006级数学1 班学号**********学生姓名胡婷婷指导教师王洁完成日期2010年5月摘要随着科技技术的发展及人类对自然界的不断探索模拟.在自然科学和工程问题中的很多问题的解决常常归结为线性代数问题！本文的主要内容是对线性方程组求解方法的探讨,主要介绍了四种求解线性方程组的方法,第一种是教科书上常见的消元法,我们称之为基本法.第二种方法是标准上三角形求解法,即将增广矩阵经过初等变换后化成标准上三角形,然后求解.它改进了一般教科书上的常见方法,与常见方法比较有如下优点:1)规范了自由未知量的选取;2)只用矩阵运算;3)减少了计算量.第三种方法是对特定的方程组（系数矩阵A为n阶对称正定矩阵,且A的顺序主子式均不为零.）的求解方法进行描述,并且为这种线性方程的求解提供了固定的公式化的方法.第四种方法是对现在实际问题中常常会遇到的系数矩阵为三对角矩阵的方程组的求解方法.同时给出这几种方法的数值解法（matlab程序）,由于运用电脑软件求解,所以必须考虑计算方法的时间、空间上的效率以及算法的数值稳定性问题,所以针对不同类型的线性方程组有不同的解法.但是,基本的方法可以归结为两大类,即直接法和迭代法.关键词高斯消去法;三角分解法;乔莱斯基分解法;追赶法AbstractSystems of linear equations are associated with many problems in engineering and scinence ,as well as with applications of mathematics to the social sciences and the quantitative study of business and economic problems.The main content of this article is the method for solving linear equations, we introduce four methods for solving linear equations in this paper. The first is the elimination method which is commonly found in textbooks, and we call the Basic Law. The second method is Standard on the triangle Solution, that first change Augmented matrix into standards in primary triangle, and then solving. It improves the general textbook on common methods, compared with the common method has the following advantages:1) Specification of the free choice of unknowns; 2)Only matrix operations;3) Reduce the computation. The third method describes a way to solve a Specific equations(N coefficient matrix A is symmetric positive definite matrix, and A are not zero-order principal minor), And for this linear equation provides a fixed formulaic approach. The fourth method is to present practical problems often encountered in the coefficient matrix is tridiagonal matrix method for solving the equations. These methods are given numerical solution of (matlab program), As the use of computer software to solve, it is necessary to consider ways of computing time and space efficiency and numerical stability of algorithms, Therefore, different types of linear equations have a different solution. However, the basic method can be classified into two categories, namely direct methods and iterative methods.Key wordsGaussian elimination; Triangular decomposition; Cholesky decomposition method;Thomas algorithm目录1. 引言 (1)2．相关知识 (2)2.1 向量和矩阵 (2)2.2 特殊矩阵 (3)3.问题叙述 (3)4．问题分析 (4)4.1高斯分解法 (4)4.2三角分解法 (6)4.3乔莱斯基分解法 (6)4.4追赶法 (7)5. 举例说明与总结 (9)5.1举例说明 (9)5.1.1高斯分解的matlab程序方法 (9)5.1.2三角分解法的matlab程序方法 (10)5.1.3乔莱斯基分解法的matlab程序方法 (11)5.1.4追赶法的matlab程序方法 (13)5.2总结 (14)参考文献 (16)谢辞 (17)线性方程组的直接解法及matlab的实现Direct solution of linear equations and matlab implementation数学与信息工程学院数学与应用数学专业胡婷婷指导教师:王洁1.引言随着科技技术的发展及人类对自然界的不断探索模拟.在自然科学和工程问题中的很多问题的解决常常归结为线性代数问题！例如电学中的网络问题,用最小二乘法求实验数据拟合问题（如大地测量数据处理）,解非线性方程组问题,用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程边值问题等最终都归结于解线性代数方程组.从实际数据来看,这些方程组的系数矩阵大致分为两种,一种是低阶稠密矩阵（阶数不超过150）.另一种是大型稀疏矩阵（矩阵阶数高且零元素较多）.所以,现在我们需要对求线性方程组的方法进行探究,以便能够找到一些简便的方法来加以应用！本文主要就线性方程组的直接解法予以讨论.线性方程组是线性代数的主要内容,包括线性方程组有解性的判定、消元法解线性方程组和线性方程组解的结构. 它与矩阵、向量的内容密切相关,与矩阵、向量组相关的许多重要结论都是线性方程组有关结论的应用和推广. 如:一个向量是否可以由一个向量组线性表示、表示形式是否唯一往往与非齐次线性方程组是否有解、有唯一解还是无穷多解是等价的;一个向量组是否线性相关与齐次线性方程组是否有非零解是等价的等等.而且随着现代工业的发展,线性方程组的应用出现在各个领域,伴随着大量方程和多未知数的出现, 例如电学中的网络问题,用最小二乘法求实验数据拟合问题（如大地测量数据处理）,解非线性方程组问题,用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程边值问题等最终都归结于解线性代数方程组。

所以寻找简便而且准确的求解方法就显得十分重要而且具有现实意义.因此对线性方程组解法的研究就显得十分必要.从实际数据来看,这些方程组的系数矩阵大致分为两种,一种是低阶稠密矩阵（阶数不超过150）.另一种是大型稀疏矩阵（矩阵阶数高且零元素较多）.本论文的主要内容是对线性方程组求解方法的探讨,主要介绍了四种求解线性方程组的方法,第一种是教科书上常见的消元法,我们称之为基本法.第二种方法是标准上三角形求解法,即将增广矩阵经过初等变换后化成标准上三角形,然后求解.它改进了一般教科书上的常见方法,与常见方法比较有如下优点:1)规范了自由未知量的选取;2)只用矩阵运算;3)减少了计算量.第三种方法是对特定的方程组（系数矩阵A 为n 阶对称正定矩阵,且A 的顺序主子式均不为零.）的求解方法进行描述,并且为这种线性方程的求解提供了固定的公式化的方法.第四种方法是对现在实际问题中常常会遇到的系数矩阵为三对角矩阵的方程组的求解方法.同时给出这几种方法的数值解法（matlab 程序）,由于运用电脑软件求解,所以必须考虑方法的计算时间和空间效率以及算法的数值稳定性问题,所以针对不同类型的线性方程组有不同的解法.但是,基本的方法可以归结为两大类,即直接法和迭代法.本文主要介绍的直接法,包括Gauss 消去法和它的变形——直接三角形法.以及特定方程组的解法乔莱斯基分解法、追赶法.和这几种方法运用计算机求解线性方程组的数值计算方法.2．相关知识2.1 向量和矩阵用R n m ⨯表示全部n m ⨯实矩阵的向量空间,C n m ⨯表示全部n m ⨯复矩阵的向量空间. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⇔∈⨯mn m m n n ij n m a a a a a a a a a a A A R 212222111211)(（称为m 行n 列矩阵）. []T n n x x x x R x 21=⇔∈（称为n 维列向量） []n a a a A 21= ,其中i a 为A 的第i 列.同理⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=T m T T b b b A 21,其中T i b 为A 的第i 行. 矩阵基本运算:(1)矩阵加法)),,.(,n m n m n m ij ij ij R C R B R A b a c B A C ⨯⨯⨯∈∈∈+=+=其中.(2)矩阵与标量的乘法ij ij a c A C αα==,.(3)矩阵与矩阵的乘法),,(,1p m p n n m n k kj ik ij R C R B R A b a c AB C ⨯⨯⨯=∈∈∈==∑.（4）单位矩阵[]nn n R e e e I ⨯∈= 21 ,其中[].,,2,1,0,,0,1,0,0n k e Tk == 2.2 特殊矩阵设n n ij R a A ⨯∈=][,则有 A 为:(1)对角矩阵 如果当j i ≠时,0=ij a ;(2)三对角矩阵 如果当01=>-ij a j i 时，;(3)上三角矩阵 如果当0=>ij a j i 时，;(4)对称矩阵 如果TA A =;(5)正定矩阵 如果设A 是n 阶实系数对称矩阵, 如果对任何非零向量[]n x x X ,,1 =都有0>AX X T ,就称A 正定. 3．问题叙述比较下列用直接法解线性代数方程组的方法.设有线性代数方程组 mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++22112222212111212111或写成矩阵形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a 2121212222111211,简记为 b AX =. 分别用高斯消元法,三角分解法,乔莱斯基分解法,追赶法来对方程b AX =进行求解.4．问题分析该方程组（例）的矩阵系数A 为非奇异矩阵.因此我们可以通过,高斯消元法,三角分解法,乔来斯基分解法,追赶法来进行求解.下面我就对该问题非别使用这几种方法来解决问题.4.1.高斯消元法对方程组m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++221122122212111212111 （1）首先检查1x 的系数,如果1x 的系数12111,,,m a a a 全为零,那么方程组（1）对1x 的系数没有任何限制,1x 就可以任意取,而方程组（1）可看作m x x ,,2 的方程组来解。