n
lim
n
i
1
Wi
在数学上，确定元功相当于给出数列通项
式，求总功即求数列n项和当n→∞时的极限．
♠方法 C
这种求功方法依据功对能量变化的量度关系， 只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便 是相应的功量．
W E
♠功能关系基本认识 功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量
度．功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功
E 0 ve
2GM r
v0
a
e
d
bc
轨道与 能量
轨道与
引力势 能
E
1 2
mv02
GMm r
能量
恒量
示例
两个天体相互作用过程中，如果其它星系离它们很遥远，对它们的作 用可以忽略的话，这两个天体的总动量守恒，两个天体从相距很远到相互 作用直到远离，它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组，那么在它们相互 作用的前后相对速度遵守“反射定律”，如果是一维方向上的“弹性碰 撞”，则相对速度等值反向．若一个飞船向外喷气或抛射物体，则系统的 动量守恒而机械能不守恒．
W
0
s
x
♠方法 B
如果在某一位移区间，力随位移变化的关系
为F=f(s) ，求该变力的功通常用微元法，即将位
移区间分成n（n→∞）个小区间s/n，在每个小
区间内将力视为恒定，求其元功Fi·s/n ，由于功 是标量，具有“可加性”，那么总功等于每个
小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段
位移中所做的功为：W
质点无引力的作用．
距球心r处所置质点受到引力大小
r3
F
G
R3
M
m
r2
G
Mm R3 r
距球心r处所置质点的引力势能
m R
r
M
由G
Mm R3
R 2
r
R
r
GMm R
Ep
Ep
G
Mm 2R3
r2 3R2
专题11-例1 试推导地球上的第三宇宙速度v3．
地球质量M 太阳质量MS 地球半径R 日地距离r 物体质量m
O
p mv 方向总是与矢径r垂直
p
定义: 质点动量大小mv与矢径大小r的乘积为质点对
定点（圆心）O的角动量：L=pr
当p与r方向不垂直而成角度θ：
角动量大小L pr sin
A θ
等于动量大小与O点到动量矢 p
r
量p的垂直距离的乘积 ;方向
O
遵守右手定则,矢量定义式为
L rp
两面元质量各为
两 S面1 元 4对Mr壳2 内S质1 点 m的S2 引 4力M各r2 为 S1S2
船头指向上游且与实际航线垂直，与上游河岸成
这时船的实际航程为
d v水 v舟
cos1 v舟
v水
v舟 v
河岸
v舟
d
θ
v水
d
θ
河岸
河岸
v
v水
河岸
v v舟
θ v水
当船的航程最短时，航行时间不是最短．
♠ 曲线运动的加速度
v
质点的瞬时加速度定义为 a
为求一般的做曲线运动质点在任一
lim
t 0
t
点的瞬时加速度，通常将其分解为
故可使渡河时间最短:
d tmin v舟
S S舟
河岸
v舟
v
v v舟
d
v水
河岸
v水
S水
水速大小不影响渡河时间!
⑵关于实际航程
为使航程最小，应使v舟与v水的合速度v与河岸的垂线间的夹角θ 尽量地小！
若若与v船v舟舟的＞＜航vv水水线，，成船船的的实实际际si位n位1移移vv水舟为与河河宽船岸d头的航指垂程向线即上夹最游角短最，小故出v舟现的在方向
曲线上某点的曲率定义为
K lim t0 s
圆周上各点曲率相同:
1
K
R R
曲线上各点对应的半径为该点
曲率倒数1/K的圆称为曲率圆,该
圆圆心称曲线该点的曲率中心!
s
R
受恒力作用
v0
力与初速度垂直
s
轨迹为半支抛物线
x
匀变速曲线运动
水平方向匀速运动与竖直 方向自由落体运动的合成
◎物体在时刻t的位置
F i
m1a1 m2a2 L L
mi a i
♠i 1加速度相关关系
s
规律
1
at 2
i 1
a
s
2
♠ 力的加速度效果分配法则 规律 m
♠
FMmT
牛顿第二定律的瞬时性 示例
M
m
F
加速度与力是瞬时对应的，外力一旦改变，加速度也立即改变，力与
加速度的因果对应具有同时性．确定某瞬时质点的加速度，关键在分析该
第一宇宙速度v1： 由
(地球环绕速度)
GMm R2
m v12 R
GM
v
7.9 km/s
1
R
第第二三(地宇宇球宙宙逃逸速速速度度度vv) 23：：原由处能于量太守阳恒系G中MR地m球 轨12 vm道2v22位置2G的RM物体 1离1.2 km/s
(太阳逃逸速度) 开太阳系所需“逃逸速度”
v2
2GMs 42.1km/s r
物体在同一时间内的位移比，便确定了两者加 速度大小关系．
2x
x
问题情景 F
a
a
m
a
a m MF
M
a
a m
mM
F
mM F M
m M
F
(a)
(b) (c)
(d)
(e)
(f)
FMmT
m M
m
F
F (m1 m2 m3 L )a Fi mia
Fi
mi
F m1 m2 m3 L
如果引起整体加速度的外力大小为F，则引起各部 分同一加速度的力大小与各部分质量成正比， F这
r1
1
m
F1
G
S1 r12
m
,
F2
G
Hale Waihona Puke S2 r22m由几何关系:S1 cos1 r12
S2 cos2 r22
F1 F2
整个球壳对球壳内物
质的万有引力为零!
r O
M
r2 S2
2
返回
对于一个质量均匀半径为R 的实心球，在距球心r（＜R） 处质点只受半径为r的球内质量 的万有引力，而r以外球壳（即 R为外径r为内径的球壳）则对
角动量
若作用在质点上的力对某定点的力矩为零，则质点对该定点的角动量保 持不变，这就是质点的角动量守恒定律．物体在受有心力作用而绕着中心天 体运动，或几个天体互相绕其系统质心运动时，由于有心力必过力心，对力
心的力矩为零，故系统的角动量守恒．即 mvr sin 恒量 ． 模型与 方法
返回
物体只在引力作用下绕中心天体运行，其机械能守
n 1 1
GMm lim n
i
1
ri
ri 1
1
GMm
lim
n
r1
1
r2
1
r2
1
r3
L
L
1
rn1
1
rn
1
GMm
r1
1
rn
以无穷远处为零引力势 能位置，物体在距中心 天体r远处的引力势能为
GMm Ep r
返回
矢量r称位置矢量，或称矢径
rm
绕定点圆运动质点的（线）动量为
法向加速度an与切向加速度at．
an
lim
t 0
vn t
at
lim
t 0
vt t
AB
vn vB v
vt
A点曲率圆半径
O
A点曲率圆
AvaBnAn
vA
limvn
t t0
vA AB
t
lim vA
t0
»AB t
at
lim
t 0
vt t
v2
an
a
♠ 曲线运动轨迹的曲率
曲线的弯曲程度用曲率描述
山车……
FT mg sin
m
v2 R
线
绳 R FT
当FT =0时，v 临界= Rg sin
mg
v
轨 FN 道 mg
在水平直径以上各点不脱离轨道 因而可做完整的圆运动的条件是 ：
v gR sin
⑵在水平直径以上各点弹力方向是
背离圆心的情况，例如车过拱形桥……
mg sin
FN
v2 m
R
当FN =0时，v 临界= Rg sin
瞬时质点的受力，对制约着对象运动状态的各个力的情况作出准确判断.
♠ 非惯性系与惯性力 规律
质点系各质点受系统以
Fi
F1i Fi1
m1
F1
mi
F31
外力F1、F2、……
对质点1
F13
m3
… F21
F12
F3
F1 F21 F31 L Fi1 L m1a1
对各质点
m2
F2 F12 F32 L Fi2 L m2a2
两颗相近的天体绕它们连线上的某 vm
点（质心Ｏ）以共同的角速度做匀速
圆周运动 .
m
★模型规律：
ω
M
Rm
ORM
vM
之一：两天体做圆周运动的向心力均为两天体间的万有引
力，大小相等，即 mRm 2 MRM 2
故有
Rm M RM m
Rm
M M m
L
RM