y
4
2
sin
PA2 PB 2
(4 2cos )2 (4 2sin )2 (2 2cos )2 (4 2sin )2
60 8(3cos 4sin ) 60 40sin( )
参数方程和普通方程的互化
在例1中，由参数方程
x
y
3 cos, (为参数) sin.
(2)x sin cos 2 sin( )
4
所以x 2, 2
把 x sin cos平方后减去y 1 sin2
得到 x2 y x 2, 2
练习、将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3cos (1) y 3sin
x sin
(2)
y
cos2
x=t+1/t
(3)
圆的参数方程
圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos
y
r
sin
( 为参数)
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到
OM的位置时，OM0转过的角度
y
P
圆心为O1(a, b) ，
b
ryBiblioteka 半径为r 的圆的参数方程v
x y
a b
r r
cos sin
(为
参
数)
O
ax x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，
(2)设 y 2t,t为参数.
为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？
练习: 曲线y=x2的一种参数方程是（
A 、
x y
t2 t4
B 、
x y
sin sin
t
2
t
C、x t y t
）.
D、
x y
t t
2
解： 在y=x2中，x∈R, y≥0， 在A、B、C中，x, y的范围都发生了变化， 因而与 y=x2不等价； 而在D中， x, y范围与y=x2中x, y的范围相同， 代入y=x2后满足该方程， 从而D是曲线y=x2的一种参数方程. 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的
取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
5 6cos 2sin 5 2 10 cos( ) (tan 1)
3
Smax 5 2 10, Smin 5 2 10
例3 已知A（―1，0）、B（1，0）,P为圆
( x 3)2 ( y 4)2 4
上的一点,求 PA2 PB 2的最大值和最小值以及对应P点的
坐标.
x 3 2cos
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们 各表示什么曲线？
(1)x= t 1 y 1 2
(t为参数) t
(2)xy=s1insinc2os (为参数).
解: (1)由x t 1 1 得 t x 1 代入 y 1 2 t
得到 y 2x 3(x 1)
这是以（1，1）为端点的一条射线；
另外，要注明参数及参数的取值范围。
例1 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)
是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周
运动时，求点M的轨迹的参数方程。
解：设点M的坐标是(x, y),
xOP
则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).
yP
o
M Q x
由中点坐标公式可得
x 2cos 6 3 cos , y 2sin sin
直接判断点M的轨迹是什么并不方便，
把它化为我们熟悉的普通方程，有 cosθ=x-3, sinθ=y; 于是(x-3)2+y2=1，
轨迹是什么就很清楚了
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.
把参数方程化为普通方程：
一般地, 可以通过消去参数而从参数方程得到普通 方程；
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取 值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.
y=t2+1/t2
(1) (x-2)2+y2=9
(2) y=1- 2x2（- 1≤x≤1）
步骤：（1）消参； （2）求定义域。
(3) x2- y=2（x≥2或x≤- 2）
例2 求参数方程
表示（ B ）
x
y
|
cos
2 1 (1 2
sin
2
sin )
|, (0
2
)
（A）双曲线的一支, 这支过点（1, 1/2）;
一般地, 如果知道变量x, y中的一个与参数t的关系,例如
x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的关
系y=g(t)，那么:
x
y
f (t) g(t )
就是曲线的参数方程。
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取 值范围保持一致
例3
求椭圆
x2 9
y2 4
1
的参数方程：
(1)设 x 3cos, 为参数；
2
2
因此，点M的轨迹的参数方程是
x
y
3 cos sin .
,
( 为参数)
例2 已知x、y满足( x 1)2 ( y 2)2 4 ,求S 3x y
的最大值和最小值．
解：由已知圆的参数方程为xy
1 2
2 cos , (
2sin.
为参数)
所以S 3x y
3(1 2cos ) (2 2sin )
（B）抛物线的一部分, 这部分过（1, 1/2）; （C）双曲线的一支, 这支过点（–1, 1/2); （D）抛物线的一部分, 这部分过（–1, 1/2).
普通方程化为参数方程：
普通方程化为参数方程需要引入参数：
如：直线 l 的普通方程是 2x-y+2=0，可以化为参数方程:
x y
t 2t
(t为 参 数) 2