(t为参数)
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利用参数思想解题
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已知 x、y 满足 x2＋(y－1)2＝1，求： (1)3x＋4y 的最大值和最小值； (2)(x－3)2＋(y＋3)2 的最大值和最小值.
【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最 小值问题来解决．
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【自主解答】 由圆的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圆的参数方程为
阶
阶
段
段
一
三
第2课时 参数方程和普通方程的互化
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．了解参数方程化为普通方程的意义． 2．理解参数方程与普通方程的互相转化与应用．(难点) 3．掌握参数方程化为普通方程的方法．(重点)
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[基础·初探] 教材整理 参数方程和普通方程的互化 阅读教材 P24～P26，完成下列问题． 1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通 过 消去参数 而从参数方程得到普通方程．
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其中tan φ＝－34， 且φ的终边过点(4，－3)． ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10， ∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36， 所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值为36，最小值为16.
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1．参数思想是解决数学问题的重要思想，在参数方程中，参数(参变量)起 着媒介作用，它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁．通过参数θ， 间接建立曲线上任意一点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过 程．它是研究解析几何问题的重要工具．
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1．将圆的普通方程化为参数方程： (1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为
x＝rcos θ y＝rsin θ
(θ为参数)；
(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为xy＝ ＝ab＋ ＋rrcsions
θ θ
(θ为参数)．
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2．普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x＝f(t)，再计算y＝g(t))， 并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x＝f(t)，y＝ g(t)调整t的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x，y的取值 范围保持一致．
[小组合作型] 普通方程化为参数方程
曲线的普通方程为x－312＋y＋522＝1，写出它的参数方程． 【思路探究】 联想sin2θ＋cos2θ＝1可得参数方程． 【自主解答】 设x－31＝cos θ，y＋52＝sin θ， 则yx＝＝－1＋2＋3co5ssiθn，θ (θ为参数)，即为所求的参数方程．
2．运用参数思想解题的关键在于参数的选择．选择参数时，应注意所选 择的参数易于与两个坐标产生联系．由于三角函数的巨大作用，常选择角为参 数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数．
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3．(1)解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后 转化为求三角函数的最大值和最小值问题．
(2)注意运用三角恒等式求最值： asin θ＋bcos θ＝ a2＋b2sin(θ＋φ)． 其中tan φ＝ba(a≠0)，且φ的终边过点(a，b)．
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[再练一题] 2．若本例条件不变，如何求yx＋ ＋21的取值范围？
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【解】 由于yx＝＝1co＋s sθi，n θ (θ∈[0,2π))，
∴k＝yx＋ ＋21＝13＋＋csoins
θ， θ
∴sin θ－kcos θ＝k－3，
即 1＋k2sin(θ＋φ)＝k－3(φ由tan φ＝－k确定)，
)
A．y＝x－2
B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3)
D．y＝x＋2(0≤y≤1) 【解析】 消去sin2θ，得x＝2＋y，
又0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3.
【答案】 C
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2．圆x2＋(y＋1)2＝2的参数方程为( )
x＝2cos θ A.y＝1＋2sin θ
(θ为参数)
x＝ 2cos θ B.y＝1＋ 2sin θ
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[再练一题]
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Байду номын сангаас
1．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．
【解析】 把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝1＋4tt2，y＝14＋t2t2，
∴参数方程为xy＝＝114＋ ＋4tt2tt22，
(t为参数)．
【答案】
x＝1＋4tt2 y＝14＋t2t2
(θ为参数)
x＝2cos θ C.y＝－1＋2sin θ
(θ为参数)
x＝ 2cos θ D.y＝－1＋ 2sin θ
(θ为参数)
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【解析】 由x＝ 2cos θ，y＋1＝ 2sin θ知参数方程为
x＝ 2cos θ， y＝－1＋ 2sin θ
(θ为参数)．故选D.
【答案】 D
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探究2 将参数方程化为普通方程时，常用的方法有哪些？ 【提示】 (1)代入法．先由一个方程中求出参数的表达式(用直角坐标变 量表示)，再代入另一个方程．教科书例3(1)用的就是代入法． (2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．教科书例3(2)就用此法．例
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2．如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普 通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t) ，那么xy＝ ＝fgtt， 就是曲线的 参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的 取值范围 保持一致．
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1．将参数方程xy＝ ＝2si＋n2θsin2θ (θ为参数)化为普通方程为(
∴sin(θ＋φ)＝
k－3 1＋k2.
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依题意，得
k1－＋3k2≤1，
∴
k1－＋3k22≤1，解得k≥43，
即yx＋ ＋21的取值范围是43，＋∞.
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[探究共研型] 参数方程化为普通方程
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探究1 参数方程为什么要化为普通方程？
【提示】 参数方程直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，如果将参数 方程转化为熟悉的普通方程，就容易判断了．
x＝cos θ， y＝1＋sin θ
(θ∈[0,2π))．
(1)3x＋4y＝3cos θ＋4sin θ＋4
＝4＋5sin(θ＋φ)，
其中tan φ＝34，且φ的终边过点(4,3)．
∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，
∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9，
∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.
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(2)(x－3)2＋(y＋3)2 ＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2 ＝26＋8sin θ－6cos θ ＝26＋10sin(θ＋φ)．