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点群和空间群
(1)点群：一个晶体所包含的全部对称操作的集合。 (2)最简单的点群是Cn群，即旋转，利用二维晶格可 证明。 (3)若只考虑宏观对称性，不考虑平移，晶体中有8种 独立的对称元素：1，2，3，4，6，i，m ，4 组合起 来，得到32种宏观对称类型，即32种点群。* (4)空间群：点群的延伸，32种点群再加另外两种操 作，导出230种微观对称类型。
轴u称为n度像转对称轴，记作n 。
n=1,2,3,4,6 如果晶体中存在i和n，则晶体中必有 n；但晶体中如
果存在 n ，则未必有n和i。 (示意图)
不n 是独立的对称操作：只有 是4 独立的。 1 i， 2 m ， 3 3 i， 6 3 m
(示意图)
正四面体示意图 4
a aa´a
b´ b
1.7 晶体的宏观对称性与晶格结构的分类
系统的一些要素等价。 对称性使系统的描述简化。 晶体的对称操作：使晶体与自身重合的操作，操作 之后，点阵不变 。
1.7.1 晶体的对称性与对称操作
平移，旋转，镜反射， 中心反演。
1.7.2 对称操作的变换关系
(1)旋转/转动：
❖如果晶体绕固定轴u旋转角度=2/n后，能与自身 重合，则此对称操作称为旋转，轴u称为n度旋转对 称轴（n度轴），记作n。
aa´ b
b´
转动2/4， 中并并心非非对4度反称旋演旋转转
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正四面体示意图
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闪锌矿和金钢石4度像转
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像转示意图
2m
1i
2 m
像转示意图
120°
a 60° a1
a3 a2
33i6m
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平移示意图
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若 设R R A A、 RR BB为 m空 a1n间 a2任 pa3意两 向 m、 点 n量 、 的 p， Z位置 则A、B点处于等价位置
一个6度轴
立方晶系
简单立方
体心立方
面心立方
四个3度轴和三个4度轴 a=b=c α=β=γ=90º
(100)(010)(001)完全对称，可用{100}表示，称为等效 晶面
布喇菲原胞示意图
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作业：
1 如果晶体中存在i和n，则晶体中必有n；但晶
体中如果存在 n ，则未必有n和i。上述说法是否
正确，请举例说明。 2 总结像转与中心反演、旋转、镜面对称的关系。 3 总结七大晶系的对称特征及坐标轴的性质。
晶系示意图
级别
晶系
布喇菲 原胞数
对称特征
坐标系的性质
点群 符号
三斜
简单三斜
没有对称轴或只有 一个反演中心
a≠b≠c α≠β≠γ
1，
低级 中级
单斜 正交 三角 四方
简单单斜， 底心单斜
简单正交， 底心正交， 体心正交， 面心正交。
简单三方 /三角
简单四方， 体心四方
一个2度轴或1个对 称面
有3个互相垂直的2 度轴
a=b=c α=β=γ=90
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三斜晶系和单斜晶系
c
b
a
abc
简单三斜
点群：1
三斜晶系
c
1度旋转
2π/1
b
a
简单单斜
底心单斜
a≠b≠c α=γ=90º β＞90º
一个2度轴或1个对称面，2，m， 单斜2/晶m系
又名石青，化学成分Cu3[CO3]2(OH)2，单斜晶 系斜方柱晶类。 （均为复式布拉菲晶格）
a≠b≠c α=γ=90º β＞90º
a≠b≠c α=β=γ=90º
一个3度轴 一个4度轴
a=b=c α=β=γ≠90º
a≠b≠c α=β=γ=90º
2，m， 2/m
222 ， mm2 ， mmm

高级
六角 立方
简单六方/六 角
一个6度轴
简单立方， 体心立方，
面心立方
四个3度轴
a=b≠c α=β= 90º γ=120º
(3)反映（镜面反演，镜象）：
如果晶体中存在一个 平面，当以它作为xoy 面，并将晶体中任一点 （x，y，z）变为（x， y，-z）时，晶体能与 自身重合，则该对称操 作称为反映，该平面称 为晶体的对称面或镜面， 记作m。
(4)像转：
如果晶体绕某固定轴u旋转2π/n后，再通过某点O作 中心反演，能与自身重合，则此对称操作称为像转，
正交晶系
简单正交
底心正交
体心正交
a≠b≠c α=β=γ=90º
有3个互相垂直的2度轴
面心正交
三角晶系
四方晶系
a
a
a
简单三方 一个3度轴
a=b=c α=β=γ≠90º
简单四方
体心四方
一个4度轴
a=b≠c α=β=γ=90º
六角晶系
c
a a 简单六方
a=b≠c α=β= 90º
γ=120º
晶系与布喇菲原胞
结晶学中的布喇菲原胞(晶胞)一般包括几个最小重复 单元，格点不仅在顶角上，而且可以在体心或面心上。 晶轴：晶胞的基矢沿对称轴或在对称面的法向上，构 成晶了系晶：体把的晶坐胞标基系矢，a 、 基b 矢、 c 即满是足晶同轴一。类要求(边长a，b， c和夹角α，β，γ)的一种或数种布喇菲格子称为一个 晶系。 七大晶系→14种布喇菲格子（14种布喇菲原胞，14种 晶胞）* (示意图)
❖n=1,2,3,4,6
n度旋转
==22/4/1326
1984 年谢赫曼在二元和三元合金中发现了违反了晶体平 移对称性的五重旋转对称。
准晶具有清晰的五重衍射花样，肯定具有长程的五重旋 转对称，但不具有长程和平移对称性。
获2019年度诺贝尔化学奖。
铝锰准晶体合金的原子排列模型
(2)中心反演：
如果晶体中存在一 个固定点O，当以O 为坐标原点，并将晶 体中任一点（x，y， z）变为（－x，-y，z）时，晶体能与自 身重合，则该对称操 作称为中心反演，点 O为反演中心，记作i。