高中数学例说圆锥曲线有关最值问题论文例说圆锥曲线有关最值问题中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各科之中，且与生产实际联系密切，最值问题有两个特点：①覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程，各元素间关系，对称性，四边形面积，解二元二次方程组，基本不等式等）②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法，判别式法，参数法，不等式，函数的性质等）计算量大，能力要求高。
常见求法： 1、回到定义 例1、已知椭圆221259x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4PA PB +的最小值；（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值。
略解：（1）A 为椭圆的右焦点。
作PQ ⊥右准线于点Q ，则由椭圆的第二定义||4||5PA e PQ ==，∴5||||||||4PA PB PQ PB +=+.问题转化为在椭圆上找一点P ，使其到点B 和右准线的距离之和最小，很明显，xyOP'P"P AQB C点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为17。
4（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则|PA|=2a-|PC|∴|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|)根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。
即-|BC|≤|PB| -|PC|≤|BC|.当P到P"位置时，|PB| -|PC|=|BC|，|PA|+|PB|有最大值，最大值为10+|BC|=1010+；当P到P"位置时，|PB| -|PC|=-|BC|，|PA|+|PB|有最小值，最小值为10-|BC|=10210-回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。
另外，（2）中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。
2、利用闭区间上二次函数最值的求法例2、在抛物线24xy=上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。
解：设抛物线上的点)4,(2t t P，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离174)21(41754422+-=+-=t t t d当21=t 时，174min =d，故所求点为)1,21(。
例3、已知一曲线xy22=，（１）设点A 的坐标为)0,32(，求曲线上距点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA|；（２）设点A 的坐标为（a,0）a ∈R ，求曲线上点到点A 距离最小值d ，并写出d=f （a ）的函数表达式。
解：（1）设M （x,y ）是曲线上任意一点，则x y 22= )0(≥x31)31(2)32()32(22222++=+-=+-=x x x y x MA ∵ x ≥094min2=MA∴ 所求P 点的坐标是（0，0），相应的距离是32=AP （2）设M （x,y ）是曲线上任意一点，同理有x a x y a x MA 2)()(2222+-=+-= )12()]1([2-+--=a a x 0≥x综上所述，有⎪⎩⎪⎨⎧-=aa d 12)1a ()1a (时当时当<≥3、运用函数的性质例4、在△ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a,b,c ，且c=10,34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 内切圆上动点，求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和最大值与最小值。
解：由B A A B A A ABa b B A 2sin 2sin 0sin cos cos sin sin sin cos cos =⇒=-⇒== ∵134≠=a b ∴BA 22-=π ∴△ABC 为Rt △由C=10，且34=a b 知 a=6 b=8设△ABC 内切圆半径为r ，如图建立直角坐标系，则Rt △ABC 的内切圆M 的方程为：4)2()2(22=-+-y x 设圆M 上动点P （x,y ）(40≤≤x )，则P 点到顶点A ，B ，C 的距离的平方和为222222222)6()8(xy y x y x PC PB PA ++-+++-=++= 10012163322+--+=y x y x 764])2()2[(322+--+-=x y x ＝88-4x∵点P 在内切圆M 上，40≤≤x ，于是88088max=-= 721688min=-=例5、直线m ：y=kx+1和双曲线x 2-y 2=1的左支交于A ，B 两点，直线L 过点P （-2，0）和线段AB 的中点M ，求L 在y 轴上的截距b 的取值范围。
略解：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），M （x 0,y 0），将y=kx+1代入x 2-y 2=1得（1-k 2)x 2-2kx-2=0,由题意，△>0且x 1+x 2<0,x 1x 2>0,解之得12k <<且M 221(,)11k k k--,又由P （-2，0），M ，Q （0，b ）共线，得22211122221b k k k k k -==-+++-，即2222b k k =-++ 下面可利用函数f(k)=-2k 2+k+2在2)上是减函数，可得222b b <-->或。
例6、已知P 是椭圆2214x y +=在第一象限内的点，A（2，0），B （0，1），O 为原点，求四边形OAPB 的面积的最大值。
略解：设P （2cos θ,sin θ），(0<θ<л/2),点P 到直线AB ：x+2y=2的距离|22)2|222102545555d πθ+-==≤=2 本例利用三角函数的有界性。
反过来，有些代数最值问题可以转化为解析几何问题，利用几何直观来解决，如参考练习中的5。
4、判别式法例7、定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。
解：设点Ａ、Ｂ的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，那么211y x =，222y x =①由题意，得 2122122)()(3y y x x -+-= ②，又AB 的中点M （x,y ）到y 轴的距离为122x x x +=③，将① ③代入② 整理得02432)(42221221=--++x x y y y y ④，∵ 21y y 为实数，故 △＝0)243(44422≥--⨯-x x 又∵ x>0得45≥x ⑤，当45=x 时，△＝０ 由④解得4121-=y y ⑥，2214522122)(212221221=-⨯=-=++=+x y y y y y y ，可得221=+yy ⑦，由 ⑥，⑦可得1y ，2y ，由①即得相应的1x ，2x 。
故AB 的中点M 距y 轴最短距离为450=x，且相应的中点坐标为)22,45(或)22,45(-。
法二：121x y=222x y =212221x x y y -=-∴yx x y y k 212121=--=∴ 221222122))(41(9)]()2(1[3y y y y y y -+=⇒-+= ∵ 2221212y y x x x +=+= ① 212y y y += ②由①－②２得212242y y y x -=- ③ ①＋③得2212)(44y y y x -=- ④④代入①得 4551924419422≥⇒=-≥++=x y y x当且仅当 1441922+=+y y212=y22±=y 时等式成立。
∴45min =x)22,45(±M说明：此法即为下面的基本不等式法。
5、利用基本不等式 例8、已知椭圆2214x y +=，F 1，F 2为其两焦点，P 为椭圆上任一点。
求：（1）|PF 1||PF 2|的最大值；（2）|PF 1|2+|PF 2|2的最小值。
略解：设|PF 1|=m,|PF 2|=n,则m+n=2a=4，|PF 1||PF 2|=mn ≤22m n +⎛⎫⎪⎝⎭=4.|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1||PF 2|≥42-2×4=8参考练习：1、过椭圆E：22221x ya b+=（a>b>0）上的动点P向圆O：x2+y2=b2引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于M，N两点。
求△MON的面积的最小值。
（3ba）2、设椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率为3e=P（0，3/2）到这个椭圆上的点7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P 7（2214x y +=，所求点为1(3,)2±-）3、P 为椭圆2221x y a+=上的一个动点，它与长轴端点不重合，2a ≥，点F 1和F 2分别是双曲线2221x y a -=的左右焦点，ф=∠F 1PF 2,（1）求tg ф的表达式；（用a 及描述P 位置的一个变量来表示）（2）当a 固定时求ф的最小值ф0；（3）当a 在区间[2,3]上变化时，求ф0的取值范围。
（2022021(1)1a y tg a y φ+=--+，20211a arctg a φπ+=--，02[,2]3arctg πφ∈）4、已知抛物线的方程为212y x m =-+，点A 、B 及P （2,4）均在抛物线上，且直线PA 、PB 的倾斜角互补．(1)求证：直线AB的斜率为定值；（2）(2)当直线AB在ｙ轴上的截距为正时，求△PAB面积的最大值．（最大值为6439，当b=163时取到。
）。