高中数学:圆锥曲线的综合问题练习(时间:30分钟)1.设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为( C )(A)(B)p(C)2p (D)无法确定解析:当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，这时x=，所以y=±p，|AB|min=2p.选C.2.(兰州一中模拟)已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若=3，则直线l的斜率为( A )(A)(B)(C)(D)2解析:设过抛物线y2=4x焦点F的直线l:x=ty+1交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为点A在第一象限且=3，所以y1=-3y2>0，联立得y2-4ty-4=0，则解得即直线l的斜率为.故选A.3.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( D )(A)(-，) (B)(0，)(C)(-，0) (D)(-，-1)解析:由得(1-k2)x2-4kx-10=0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得-<k<-1.即k的取值范围是(-，-1).选D.4.(广西三市第二次调研)过点(2，1)的直线交抛物线y2=x于A，B两点(异于坐标原点O)，若OA⊥OB，则该直线的方程为( B )(A)x+y-3=0 (B)2x+y-5=0(C)2x-y+5=0 (D)x+2y-5=0解析:观察选项知AB不垂直于x轴，设AB:y-1=k(x-2)与y2=x联立化为2ky2-5y+(5-10k)=0，所以y1·y2=，y1+y2=，x 1=，x2=，由OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，所以(y1y2)2+y1y2=0即()2+=0，解得k=-2或，当k=时直线过原点，舍去，所以k=-2，只有选项B满足.选B.5.(2017·安徽马鞍山三模)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB 的中点坐标为(1，-1)，则E的方程为( D )(A)+=1 (B)+=1(C)+=1 (D)+=1解析:设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k==，两式相减得+=0，即+=0⇔+×()×=0，即a2=2b2，又c2=9，a2=b2+c2，解得a2=18，b2=9，方程是+=1，故选D.6.(昆明一中模拟)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( A )(A)(B)(C)(D)1解析:由题意可得F(，0)，设P(，y0)，(y>0)，则=+=+=+(-)=+=(+，)，可得kOM==≤=.当且仅当=时取得等号，选A.7.(山西省六校第四次联考)已知抛物线C:x2=8y，直线l:y=x+2与C交于M，N两点，则|MN|= .解析:所以(y-2)2=8y，所以y2-12y+4=0，所以y1+y2=12，y1y2=4.因为直线l:y=x+2，过抛物线的焦点F(0，2)，所以|MN|=(y1+2)+(y2+2)=y1+y2+4=16.答案:168.(大庆一模)已知抛物线C:y2=4x，过其焦点F作一条斜率大于0的直线l，l与抛物线交于M，N两点，且|MF|=3|NF|，则直线l的斜率为.解析:抛物线C:y2=4x，焦点F(1，0)，准线为x=-1，分别过M和N作准线的垂线，垂足分别为C和D，作NH⊥CM，垂足为H，设|NF|=x，则|MF|=3x，由抛物线的定义可知:|NF|=|DN|=x，|MF|=|CM|=3x，所以|HM|=2x，由|MN|=4x，所以∠HMF=60°，则直线MN的倾斜角为60°，则直线l的斜率k=tan 60°=.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(云南玉溪模拟)已知点F1，F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|+|的最小值是( C ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)2解析:因为O为F1F2的中点，所以+=2，可得|+|=2||，当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，|+|同时达到最小值.因为椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得+y2=1，所以a2=2且b2=1，可得a=，b=1，因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1，所以|+|=2||的最小值为2，故选C.10.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P 到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为.解析:双曲线x2-y2=1的一条渐近线为直线y=x，显然直线y=x与直线x-y+1=0平行，且两直线之间的距离为=.因为点P为双曲线x2-y2=1的右支上一点，所以点P到直线y=x 的距离恒大于0，结合图形可知点P到直线x-y+1=0的距离恒大于，即c≤，可得c的最大值为.答案:11.(海淀区校级三模)如图，已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点为A(0，1)，离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)若过点A作圆M:(x+1)2+y2=r2(圆M在椭圆C内)的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点(B，D不同于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点?若是，求出该定点;若不是，请说明理由.解:(1)因为e===，由题设知⇒故所求椭圆C的方程是+y2=1.(2)设切线方程为y=kx+1，则得=r，即(1-r2)k2-2k+1-r2=0，设两条切线的斜率分别为k1，k2，于是k1，k2是方程(1-r2)k2-2k+1-r2=0的两实根，故k1·k2=1.设直线BD的方程为y=mx+t，由得(1+2m2)x2+4tmx+2t2-2=0，所以x1+x2=，x1x2=，又k1k2=·=1，即(mx1+t-1)(mx2+t-1)=x1x2⇒(m2-1)x1x2+m(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=0⇒(m2-1)+m(t-1)+(t-1)2=0⇒t=-3.所以直线BD过定点(0，-3).12.(广东省海珠区一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2，且过点A(2，1).(1)求椭圆C的方程;(2)若不经过点A的直线l:y=kx+m与C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明:直线PQ的斜率为定值.(1)解:因为椭圆C 的焦距为2，且过点A(2，1)，所以+=1，2c=2.因为a 2=b 2+c 2，解得a 2=8，b 2=2，所以椭圆C 的方程为+=1.(2)证明:设点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，y 1=kx 1+m ，y 2=kx 2+m ，由消去y 得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-8=0，(*)则x 1+x 2=-，x 1x 2=， 因为k PA +k AQ =0， 即=-，化简得x 1y 2+x 2y 1-(x 1+x 2)-2(y 1+y 2)+4=0.即2kx 1x 2+(m-1-2k)(x 1+x 2)-4m+4=0(**).代入得--4m+4=0，整理得(2k-1)(m+2k-1)=0，所以k=或m=1-2k.若m=1-2k ，可得方程(*)的一个根为2，不合题意，所以直线PQ 的斜率为定值，该值为.13.(西城区一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，以椭圆C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是2.(1)求椭圆C的方程;(2)设A是椭圆C的右顶点，点B在x轴上，若椭圆C上存在点P，使得∠APB=90°，求点B 横坐标的取值范围.解:(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意，得=，ab=2，且a2=b2+c2.解得a=2，b=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)“椭圆C上存在点P，使得∠APB=90°”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P，使得·=0成立”，依题意，A(2，0)，设B(t，0)，P(m，n)，则m2+2n2=4，且(2-m，-n)·(t-m，-n)=0，即(2-m)(t-m)+n2=0.将n2=代入上式，得(2-m)(t-m)+=0.因为-2<m<2，所以t-m+=0，即m=2t+2.所以-2<2t+2<2，解得-2<t<0，所以点B横坐标的取值范围是(-2，0).。