第十二章 量子物理学§12.1 实物粒子的波粒二象性一、 德布罗意物质波假设νλh E hP ==hEPh==νλ二、 德布罗意物质波假设的实验证明 1、 戴维森——革未实验 2、 电子单缝实验 例1、运动速度等于300K 时均方根速率的氢原子的德布罗意波长是 1.45A 0 。

质量M=1Kg ，以速率v=1cm/s 运动的小球的德布罗意波长是 6.63×10-14A 0 。

（h=6.63×10-34J.s 、K=1.38×10-23J.K 、m H =1.67×10-27kg ） 解：（1）mk Tv 32=045.13A k Tmhmvh p h ====λ（2）0191063.6A Mvh p h -⨯===λ 例2、若电子的动能等于其静止能量，则其德布罗意波长是康谱顿波长的几倍？ 解：电子的康谱顿波长为cm h e c =λ，罗意波长为ph =λ由题知：c v c m c m E k232)1(2020=⇒=⇒=-=γγc m h vm h p h ee 232===γλ，故 31=cλλ三、 德布罗意物质波假设的意义 四、 电子显微镜例子、若α粒子（电量为２ｅ）在磁感应强度为Ｂ均匀磁场中沿半径为Ｒ的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是:[A]（A ）ｈ／（２ｅＲＢ） ． （B ）ｈ／（ｅＲＢ） ．（C）１／（２ｅＲＢｈ）．（D）１／（ｅＲＢｈ）．例2、如图所示，一束动量为ｐ的电子，通过缝宽为ａ的狭缝，在距离狭缝为R处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大的宽度ｄ等于:[D]（A）２ａ2／Ｒ．]（B）２ｈａ／ｐ．（C）２ｈａ／（Ｒｐ）．（D）２Ｒｈ／（ａｐ）．§12.2 测不准关系五、 坐标动量测不准关系x 方向坐标的测不准量为Δx 电子在x 方向动量测不准量为φsin P P x =∆而xk x ∆≥⇒=∆λφλφsin sin 故h P P x xPPhx P P x x=≥∆⋅∆⇒∆=∆≥∆λλ h P x x ≥∆⋅∆，或 ≥∆⋅∆x P x ，精确式为21≥∆⋅∆x P x 表示在x 方向，粒子的坐标和动量不能同时确定。

测不准关系不仅适用于电子和光子。

也适用于其它粒子，其起因于微观粒子的波粒二象性。

例：同时确定能量为1KeV 的电子的位置和动量时,若位置的不准定量值在100Pm 内,则动量的不确定值的百分比ΔP/P 为何值?(电子的质量m e =9.11×10-31Kg 。

)解：1231071.12--⋅⋅⨯==s m k g mE P k由h P x x ≥∆⋅∆得%39=∆=∆⇒∆=∆xPh P P x h P 例：光子的波长λ=3000A 0。

确定此波长的精度Δλ/λ=10-6。

求光子位置的不确定量。

解：|||2λλλ∆-=∆⇒=hP hPmm P x P x x 48222=∆⋅=∆=∆≥∆⇒≥∆⋅∆λλπλλπλ六、 能量时间测不准关系h t E ≥∆⋅∆ ≥∆⋅∆t E2≥∆⋅∆t E例：若一电子处于某一能态时间为10-8s ，则该原子处于此能态的的能量最小值为多少？若电子从该能态跃迁至基态，求所得谱线的波长宽度。

解：（1）)(1014.47eV thE -⨯=∆≥∆ （2）由03670A Ehchch E ==⇒==λλν由)(1013.7052A EEhc E hc -⨯=∆=∆⇒=λλλ 中子的质量为1.67⨯10-27 kg 。

假定一个中子沿x 方向以2000ｍ.s -1的速度运动, 速度的测量误差为0.01%, 则中子位置的不确定量最小为 (用不确定关系∆ x ∙∆ p x ≥ 计算)[D](A) 3.16⨯10-17ｍ (B) 3.16⨯10-13ｍ (C) 3.16⨯10-10ｍ (4D 3.16⨯10-7ｍ 不确定关系指的是：[C] (A) 任何物理量都不确定(B) 任何物理量之间都不能同时确定(C) 某些物理量能不能同时确定, 这取决于这些物理量之间的关系(D) 只有动量与位置、时间与能量之间不能同时确定不确定关系式Δｘ·ΔＰ ≥h/2π有以下几种理解:（1）粒子动量不可能确定．（2）粒子的坐标不可能确定．（3）粒子动量和坐标不可能同时确定．（4）不确定关系不仅适用于电子和光子，以适用于其它粒子.其中正确的是：(A) (1),(2) (B) (2),(4) (C) (3),(4) (D) (4),(1)§12.3 波函数 定谔方程经典力学：粒子的运动由坐标和动量描述。

状态随时间的变化由牛顿定律确定。

量子力学：微观粒子的运动状态用波函数描述。

状态随时间的变化用定谔方程描述。

七、 波函数 1、 量子力学基本假设之一微观粒子的运动状态（量子态）用波函数ψ（r ，t ）数描述。

例、求自由粒子波函数。

解：自由粒的能量和动量λνh P h E ==,，不随时间变化。

（1） 若粒子沿x 方向运动沿x 方向以ν、λ传播的波的波动方程为：)(2cos ),(0λνπxt t x -ψ=ψ，用复数形式表示为：)(0)(20)(20),(Px Et iPx Et hixt i ee et x ------ψ=ψ=ψ=ψπνπ（2） 若粒子沿r 方向运动，则)(0),(r P Et ie t r⋅--ψ=ψ 2、 波函数的物理意义——统计解释),(),(*t r t rψψ表示粒子在t 时刻在（x ，y ，z ）处出现的几率密度。

),(),(*t r t rψψ=ρ粒子在体积元dV=dxdydz 内出现的几率为dxdydz t r t r dW ),(),(*ψψ=例、粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：a x ax n a x n <<=ψ0),sin(2)(π 若粒子处在n=1的状态，求（1）粒子在x=a/4处出现的几率密度、（2）在区间[0，a/4]内找到粒子的几率是多少？（3）在何处找到粒子的几率最大，为何值？解：（1）aaxa a x ax a x /1sin 2)sin(2)(4/2*=⇒=ψψ==ψ=ρπρπ（2）091.0sin 24/02==⎰a dx ax a Wπ （3）ax a πρ2*sin 2=ψψ=，当2)12(ππ+=k ax 时ρ最大=2/a此时， ,3,2,1,0,2)12(=+=k a k x 而0<x<a ，故x=a/2。

3、 波函数的归一化条件⎰⎰⎰∞=ψ1||2dxdydz相差一个常数因子的波函数ψ与c ψ描述同一微观态。

思考：将波函数在空间的振幅增大D 倍，则粒子在空间的几率密度增加几倍？答案：不变。

4、 波函数的标准条件波函数),(t r ψ是空间和时间的单值、有限、连续函数。

5、 物质波波函数与经典波函数的区别 德布罗意波是几率波，波函数不表示某实在的物理在空间的波动，其振幅无实在的物理意义。

八、 定谔方程量子力学基本假设之二：波函数随时间的变化满足定谔方程。

1、 含时定谔方程 若粒在势场),(t r V V=中运动，则：ψ=∂ψ∂H ti其中：),(t r ψ=ψ。

),(222t r V m H+∇-=，称为哈密顿算符。

2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇叫拉普拉斯算符。

2、 定态定谔方程对于定态（能量不随时间变化的状态）)(r V V=。

ψ=ψE H其中：)(r ψ=ψ，称为定态波函数。

E 称能量本征值，即定态能级。

例1、已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：)(),23cos()(a x a axa x ≤≤-=ψπ那么粒子在ｘ＝ 5a ／6处出现的几率密度为: [A]（A ）１／(2a) ． （B ）１／a ． （C ）１／(2a)1/2 ． （D ）１／a 1/2 ．例2、波函数 ψ ( r 、t )的物理意义可表述为：[D] (A) ψ ( r 、t )为t 时刻粒子出现在 处的概率 (B) ψ ( r 、t )为t 时刻粒子出现在 处的概率密度(C) ψ ( r 、t )无直接意义, |ψ ( r 、t )|2意为t 时刻粒子出现在r 处的概率(D) |ψ ( r 、t )|2为t 时刻粒子出现在r 处的概率密度设粒子运动的波函数图线分别如图（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）、（Ｄ）所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？（A ）§12.4 势阱和势垒中的粒子一、 一维无限深势阱1、 势函数设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动，其势函数为：0 0≤x ≤aU=∞ x<0，x>a 2、 方程的求解 当x<0时：0)(=ψx当0≤x ≤a 时： 0)(2)(222=ψ+ψx E mdx x d当x>0时：0)(=ψx令222mEk =，则0)()(222=ψ+ψx k dxx d ，它的通解为： )sin()(δ+=ψkx A x由波函数的标准条件得：在x=0处：00sin =⇒=δδA在x=a 处：),2,1(,0)sin( ==⇒=+n n ka ka A πδ 由波函数的归一化条件得：aA aA dx x Sin A xdx A a212sin 122222=⇒=⇒==⎰⎰∞+∞-3、 求解结果在一维无限深势阱中运动的粒子的波函数为：),0.(0)(a x x x ><=ψ)0(,sin 2)(a x ax n a x ≤≤=ψπ由222 mEk =及),2,1(, ==n n ka π得，在一维无限深势阱中运动的粒子的能量为：),2,1(,8222 ==n mah n E n 可见，能量是量子化的，它是定谔方程求解的自然结果。

4、 一维无限深势阱的驻波法求解困粒子被束缚在0≤x ≤a 内运动，其德布罗意波在该区间内形成稳定驻波（x=0，x=a 处为波节）。

根据驻波条件，其德布罗意波长λ应满足：,2,1,2=⋅=n n a λ由德布罗意关系，粒子的动量P=h/λ，故P=nh/2a 。

在势阱内，U=0，粒子的能量E=P 2/2m ，从而：222282ma h n m P E n ==x=0处是波节点，驻波方程为：kx A x sin )(=ψx=a 处也是波节点，且A ≠0，故),2,1(, ==n n ka π，因而驻波波函数为：)0(,sin 2)(a x axn a x ≤≤=ψπ 两种处理方法的一致，说明微观世界的定态对应德布罗意驻波。

二、 隧道效应设粒子在一维方势垒中运动，其势函数为： U 0 0≤x ≤aU （x ）=0 x<0，x>a按经典理论，对于E<U 0的粒子，在Ⅰ区域内，粒子将会在x=0处反射，不能进入区域Ⅱ和Ⅲ。