全国初中数学竞赛初赛模拟试卷（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内1. 方程 0200911=-x 的根是A. 20091- B. 20091C. -2009D. 20092. 如果0<+b a ，且0>b ，那么2a 与2b 的关系是A ．2a ≥2bB ．2a ＞2bC ．2a ≤2bD ．2a ＜2b3. 如图所示，图1是图2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图1中的线段AB 在图2中的对应线段是A ．kB ．hC ．eD ．d4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA 的度数是A．75° B ．72° C ．70° D ．65°图2（第3题图） （第4题图）5. 已知a 2=3，b 2=6，c 2=12，则下列关系正确的是A ．c b a +=2B ．c a b +=2C ．b a c +=2 D. b a c +=26. 若实数n 满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是A ．1B ．21C ．0 D. -17. 已知△ABC 是锐角三角形，且∠A ＞∠B ＞∠C ，则下列结论中错误的是A ．∠A ＞60° B ．∠C ＜60° C ．∠B ＞45° D ．∠B ＋∠C ＜90°8. 有2009个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是1，第二个数是-1，则这2009个数的和是A ．-2B ．-1C ．0D ．29. ⊙0的半径为15，在⊙0内有一点 P 到圆心0的距离为9，则通过P 点且长度是整数值的弦的条数是A ．5B ．7C ．10D ．1210. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象 如图所示，记b a p +=2，a b q -=，则下列结论正确的是A ．p ＞q ＞0B ．q ＞p ＞0C ．p ＞0＞qD ．q ＞0＞p二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11. 已知 |x |=3，2y =2，且y x +＜0，则y x = .12. 如果实数b a ,互为倒数，那么=+++221111b a .13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4个，绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为52，那么，随机从中摸出一个黄球的概率为 .14. 如图，在直线3+-=x y 上取一点P ，作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ，若矩形OAPB 的面积为4，则这样的点P 的坐标是 .15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°, E, F 分别在AC 、AB 上，且AE=AF ，∠CDE=∠BAC ，那么，图中长度一定与DE 相等的线段共有 条.（第10题图）D F B A EC C（第14题图） （第15题图） （第16题图）16. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，∠DBC=45°，折叠梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕为EF ，若AD=2，BC=8，则tan ∠CDE= .17. 实数y x ,满足06222=+-y x x ，设x y x w 822-+=，则w 的最大值是 .18. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的坐标为（8，0），点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形，则点C的坐标为 . （第18题图）三、解答题（本大题满分30分，每小题15分）19. 某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用了100元，按该书定价2.8元出售，很快售完；由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高出0.5元，共用了150元，所购得书的数量比第一次多10本；这批书按原定价售出80%后，出现滞销，便以5折售完剩余的该图书. 试问：这个书店老板第二次售书是赔钱，还是赚钱？请通过计算说明（只与进价比较，不考虑其它成本）.20. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E 在AC 上（点E 与A 、C 都不重合），点F 在斜边AB 上（点F 与A ，B 都不重合）（1）若EF 平分Rt △ABC 的周长，设AE=x ，△AEF 的面积为y ，写出y 与x 之间的函数关系式，并指出x 的取值范围；（2）试问：是否存在直线EF 将Rt △ABC 的周长和面积同时平分，若存在，求出AE 的长，若不存在，说明理由.A F C B初赛试题参考答案一、选择题：DBCAB ，CDADB提示：1．D ；由0200911=-x ，得2009,120091=∴=x x 2．B ；由b a +＜0，b ＞0知a ＜0且|a |＞|b |，所以|a |2＞|b |2，即a 2＞b 2； 3．C ；将图1中的平面图折成正方体4．A ；延长CO 交于⊙O 于D ，连结AD ，则∠D=∠B=15°，因为CD 为⊙O 的直径，所以∠CAD=90°，所以在Rt △ACD 中 , ∠OCA=90°－15°=75°.5．B ；由2a =3，2c =12，得2a ·2c =3×12. 即2c a +=36=62，而2b =6c a b a b b c a +===∴+22)2(226．C ；设1,2008,2009-=+-=-=b a n b n a 则，又002,21)1(12)(222222==∴+=-∴=+++=+ab ab ab b a b ab a b a 即且7．D ；若∠B ＋∠C ＜90°，则 ∠A ＞90°，这与△ABC 是锐角三角形矛盾，故D 错.8．A ；先据题意写出前面一些数：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，……，经观察发现从左向右数每排列六个数后，从第七个数开始重复出现，即这2009个数是由1，－1，－2，－1，1，2这6个数组成的数组重复排列而成，而1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＋1＋2=0，又2009=334×6＋5，这说明，这2009个数的和等于最后五个数：1，－1，－2，－1，1的和.9．D ；过P 点的最长的弦是直径，其长为30，最短的弦长=24915222=-，所以⊙O 中，通过P 点的弦长L 的取值范围是24≤L ≤30，又L 为整数，所以L 的值可取24，25，26，27，28，29，30，又根据圆的对称性知：长度为25，26，27，28，29的弦各有2条，故共有12条.10. B ；由图象知a ＜0，c =0，ab 2-＞1，从而2a ＋b ＞0，又a a b b a 3)()2(=--+＜0，即b a +2＜a b -.二、填空题：11. 9或91 12. 1 13. 31 14.（4，-1），（-1，4） 15. 3条 16. 53 17. O 18.（1，3）提示：11．9或91；由条件知3-=x ，2±=y12．1；由已知条件知ab =1，所以原式)()(22b a b ab a b a ab b ab ab a ab ab +++=+++= 1=++=+++=b a b a b a a b a b 13. 31；设口袋中有黄球x 个，依题意，得 ，所以P （摸出1个黄球）= 14. （4，-1），（-1，4）；设点P 的坐标为（b a ,），由题意得分程组 解此方程组即可. 15. 3条；易知△AFD ≌△AED ，所以∠AFD=∠AED ，DE=DF ，又∠CDE=∠BAC ，∠C 为公共角，所以 ∠DEC=∠B=60°，所以∠AFD=∠AED=120°，所以∠BFD=60°，又∠B=60°，所以△BDF 为等边三角形，所以DB=BF=DF=DE.16．53；因为折叠后点B 与D 重合，所以∠EDB=∠DBC=45°，∴∠BED=90°，即DE ⊥BC ，在等腰梯形ABCD 中，CE= ，DE=BE=8-3=5 ∴ tan ∠CDE= 17. O ；由06222=+-y x x ，得x y x 6222=+知x ≥0，又x x y 6222+-=，1)1(28622222++-=--=-+-=x x x x x x x w ，由此可见，当x ≥-1时，w 随着x 的增大而减小，又因为x ≥0>-1, ，故当x =0时，w 的最大值是0.18. （1, 3）；∵ 四边形OCDB 是平行四边形，B （8，0），∴ CD//OA ，CD=OB=8⎩⎨⎧+-==⋅34||||a b b a 31155=5,52646==++x x 3)28(21)(21=-=-AD BC 53=DE EC 21过点M 作MF ⊥CD 于点F ，则CF= CD=4过点C 作CE ⊥OA 于点E ，∵ A （10，0），∴OE=OM －ME=OM －CF=5－4=1.连结MC ，则MC= OA=5 ∴ 在Rt △CMF 中，3452222=-=-=CF MC MF∴ 点C 的坐标为（1，3）三、解答题19. 解：设第二次购书x 本，依题意得 整理得，解得 当x =50时，150÷50=3＞2.8，这与实际不符，舍去.当x =60时，150÷60=2.5＞2.8，符合题意，由2.8×60×80%＋2.8×0.5×60×20% =151.2；151.2-150=1.2（元）20. 解：（1）在Rt △ABC 中，AC=3，BC=4，所以AB=5，∴△ABC 的周长为12，又因EF 平分△ABC 的周长，∴AE ＋AF=6，而AE=x ，∴AF=6－x ， 过点F 作FD ⊥AC 于D ，则54sin ===AB BC A AF DF∴),6(54,546x DF x DF -=∴=-所以x x x x DF AE y 51252)6(5421212+-=-⋅=⋅= （0＜x ＜3）（2）这样的EF 存在，此时AE=266- . S △ABC =6342121=⨯⨯=⋅AC BC ，由EF 平分△ABC 的面积，所以，解得 ∵0＜x ＜3，∴ 不合舍去，当 时 ，符合题意，所以这样的EF 存在，此时AE= .21xx 1502110100=+-030001102=+-x x 60,5021==x x 266,26621+=-=x x 2662+=x 2661-=x 52666＜x +=-266-3512522=+-x x A FE C B D。