d (t )
dt
频率f —— 周期函数每秒变化的次数
周期T、频率f、角频率之间的关系：
T 1 ， 2f 2
f
T
(2) 正弦量的初相(位):
正弦量的相位：(t + )
正弦量的初相: 为 t =0 时的相位。 正弦量的初相 的确定：
量值 取主值范围的原点到正最大值之间的值.
符号
在原点的左边为正、右边为负
(1)正弦量的相量表示法
u(t) Um cos(t ) Re[Ume j(t) ] Re[(Ume j )e jt ] Re[(Um)e jt ]
u(t) 2U cos(t ) Re[( 2U)e jt ] 该式表明: 实函数与复函数一一对应
(2)相量概念引出 :
U U
+j
U
u
U 一一对应
U
u 2U cos(t ) U U
(3)相量图:
O
+1
图 有效值相量的相量图
对电流亦然:
i(t) Im cos(t ) Re[Ime j(t) ] Re[(Ime j )e jt ] Re[(Im)e jt ]
i(t) 2I cos(t ) Re[( 2I)e jt ]
I I
+j
+j
一 . 复数 b
1. 复数表达式与复平面
(１) 代数形式 (２) 三角形式
A a jb
O
A A cos j A sin
(３) 指数形式 (４) 极坐标形式
A A e j
A A
复平面 A
|A|
a
a A cos
b A sin A a2 b2
tg b a
2. 复数运算___复数的加减乘除
T0 Im 2I
i(t) 2I cos(t )
u(t) Um cos(t u )
Ut u)
三. 相量法的基础
1. 相量法的引入
重要结论 : 激励产生 响应
相量法： 从求正弦量的幅值和初相角入手，通过 引 入相量，建立相量电路模型，直接应用直流分 析方法，把在时域范围内求微分方程的问题转化 为在频域范围内求复数代数方程的问题，从而使 正弦电路的稳态解法大为简化。
2 . 了解相量法的引入思想，正确理解相量 的定义、性质。
3 . 复习复数的性质和基本运算。
问题的引入___特解及稳态响应问题
如图所示,为RL一阶 电路的正弦稳态响应
其特解及稳态响应 用经典法求解是困难的.
解决的方法之一,是 相量法.
t=0
+ uS
_
R
i( t )
+ uL(t)
_L
uS Um cos(t u )
i(A) Im
O 2
-Im
t(rad)
2. 同频率正弦量的相位差:
设 u(t)=Umsin( t + u), i(t)=Imsin( t + i ) 相位差 = ( t + u) - ( t + i)= u - i (1) >0， u 领先(超前)i ，或i 落后(滞后) u
(2) <0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i
A A
B B a
+j
+j
A O
+j A
O
C A B
复数加法的平行四边形法和三角形法
+j A B
B O C -A 复数减法的平行四边形法和三角形法
C A B
C
乘法运算：
除法运算：
+j
C
B
b
a + b
b
A
O
+1
复数的乘法
C A B A B (a b )
+j
A
B
+1
O
a- b
C
复数的除法
C
•
Um
311 .1 60
例8-3
已知
•
I
5015o
A,
•
f 50Hz , U m 50 65V
试写出电流的瞬时值表达式。
解： i 50 2 sin(314t 15o ) A
u 50 sin( 314t 65 )V
旋转相量与正弦量
+1
2Ie jt 2Ie j(t)
2I cos(t ) j 2I sin(t )
2 . 相量的性质和运算法则
(1)同频率正弦量的和差运算就变成了对应相量的 和差运算
I
i
I 一一对应
I
u 2I cos(t ) I I
O
+1
图 有效值相量的相量图
例8-2
已知
i 141.4sin(314t 30o )A u 311.1sin(314t 60o )V
试用相量表示 i、u 。
解：
•
I 10030o A
•
U 220 60o V
或
•
I m 141 .430
Re[ 2Ie jt ]
+j
O
O
t
t1
t2
t1
t2 t
Im[ 2Ie jt ]
i(t) 2I cos(t ) Re[ 2Ie jt ]
一个初始相位为、为角频率逆时针 旋转的相量，在实数轴上的投影的长度将 按照余弦函数规律变化，而在虚数轴上的 投影的长度将按照正弦函数规律变化。
图 旋转相量与正弦量示意图
A -jB
O
+1
旋转因子示意
二. 正弦量
1.正弦量的基本概念
(1)正弦量的三要素 变化的幅度——幅值Im
i(t) Im cos(t )
变化的快慢——角频率
变化的计时起点——初相(角)
i(A) Im
O 2
-Im
t(rad)
周期T——最小正周期T f (t) f (t T )
角频率 ——相角（t ）随时间变化的速度
u, i u i
0
t
u i
(3) = 0， u与i 同相：
u, i
u
i
0
t
(4) = ( 180o ) ， u与i 反相：
u, i
i
u
0
t
(5) = 90°，u与i 正交
u, i u i
0
t
规定： | | (180°)
3 . 有效值
i(t) Im cos(t i )
I 1 T i2dt
第八章 相量法
§8-1 相量 §8-2 正弦量的相量表示 §8-3 电阻、电感和电容元件上电压
和电流的相量关系
§8-4 电路定律的相量形式和电路的 相量模型
本次课要点
1 相量及引入思想 2 电路定律的相量形式及电路的相量模型 3 阻抗(导纳)及其三角形关系
要求:
1 . 掌握正弦量的三要素，掌握初相与相位 差的定义、量值、符号、性质。
A B
A
B (a b )
3. 旋转因子： e j 1
任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角.
例8-1 F=F1e j
特殊：
j
e 2 j
( 逆时针旋转90 )
j
e 2 j
( 顺时针旋转90 )
e j( ) cos( ) j sin( ) 1 B
j F
F1
+1
+j
jA
+j , –j , -1 都可以看成旋转因子