对应学生用书P 110
基础达标
一、选择题
1．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1
2，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．(－∞，1
2
)
D ．(－12，1
2
)
解析：由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0.
答案：B
2．(2010·温州十校联考)函数y ＝2x
＋1
的图象是( )
解析：函数y ＝2x 的图象是经过定点(0,1)、在x 轴上方且单调递增的曲线，依据函数图象的画法可得函数y ＝2x
＋1
的图象单调递增且过点(0,2)，故选A.
答案：A
3．函数y ＝(12)1－
x 的单调递增区间为( )
A ．(－∞，＋∞)
B ．(0，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．(0,1)
解析：定义域为R . 设u ＝1－x ，y ＝(1
2
)u .
∵u ＝1－x 在R 上为减函数， 且y ＝(1
2)u 在(－∞，＋∞)为减函数，
∴y ＝(12)1－
x 在(－∞，＋∞)是增函数，∴选A.
答案：A
4．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－
1.5，则( )
A ．y 3>y 1>y 2
B ．y 2>y 1>y 3
C ．y 1>y 2>y 3
D ．y 1>y 3>y 2
解析：y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－
1.5＝21.5.因为函数y ＝2x 在R 上是增函数，
且1.8>1.5>1.44，所以y 1>y 3>y 2.
答案：D
5．已知函数f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)，则函数y ＝f (x )的图象是( )
解析：∵f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)， ∴f (x )在(0,2)内单调递减， ∴0<a <1，∴选A. 答案：A
6．预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是P n ＝P 0(1＋k )n (k 为常数)，其中P n 为预测期内n 年后的人口数，P 0为初期人口数，k 为预测期内的年增长率，如果－1<k <0，那么在这期间人口数( )
A ．呈上升趋势
B ．呈下降趋势
C ．先上升后下降
D ．先下降后上升
解析：P n ＝P 0(1＋k )n 是指数型函数，∵－1<k <0，∴0<1＋k <1.由y ＝a x (0<a <1)是R 上的减函数可知，人口数呈下降趋势．
答案：B 二、填空题
7．若a >1，－1<b <0，则函数f (x )＝a x ＋b 的图象一定不在第________象限．
解析：结合图象可知一定不在第四象限． 答案：四
8．已知x >0，函数y ＝(a 2－8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是______________． 解析：因为x >0时，y ＝(a 2－8)x 的值大于1恒成立，则a 2－8>1，即a 2>9，解得a >3或a <－3.
答案：a >3或a <－3
9．已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(1
3)b ，则下列五个关系式：
①0<b <a; ②a <b <0； ③0<a <b; ④b <a <0； ⑤a ＝b .
其中不可能成立的关系式为______________． 解析：
在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝(12)x 和y ＝(1
3)x 的草图，如右图所示，由图可得①
②⑤可能成立，不可能成立的关系式为③④.
答案：③④ 三、解答题
10．根据下列条件确定实数x 的取值范围：a <(1a )1－
2x (a >0且a ≠1)．
解：原不等式可化为a 2x －
1>a 12，对于函数y ＝a x (a >0且a ≠1)，
当底数a 大于1时在R 上是增函数； 当底数a 大于0小于1时在R 上是减函数． 所以当a >1时，由2x －1>12，解得x >3
4；
当0<a <1时，由2x －1<12，解得x <3
4
.
综上可知，当a >1时，x >34；当0<a <1时，x <3
4
.
11．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a
2，求a 的值．
解：(1)若a >1，则f (x )是增函数，
∴f (x )在[1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (1)． ∴f (2)－f (1)＝a 2，即a 2－a ＝a 2.解得a ＝3
2.
(2)若0<a <1，则f (x )是减函数，
∴f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)，最小值为f (2)，
∴f (1)－f (2)＝a 2，即a －a 2＝a 2，解得a ＝1
2.
综上所述，a ＝12或a ＝3
2
.
创新题型
12．已知函数f (x )＝a a 2－1(a x －a －
x )(a >0，且a ≠1)．
(1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)讨论函数f (x )的单调性．
解：(1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． 又f (－x )＝a a 2－1(a －
x －a x )＝－f (x )，
所以函数f (x )为定义域上的奇函数． (2)设任意的x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝
a a 2
－1(ax 1－a －x 1)－a a 2－1(ax 2－a －x 2)＝a a 2－1(ax 1－ax 2)(1＋1ax 1＋x 2
)， 因为1＋1
ax 1＋x 2
>1>0，
当a >1时，a 2－1>0，ax 1－ax 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，
即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )为增函数； 当0<a <1时，a 2－1<0，ax 1－ax 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，
即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )为增函数．
故当a >0，且a ≠1时，函数f (x )为定义域内的增函数．
指数幂比较大小的三种类型及求解技巧
两个指数幂比较大小是本节的一个重要题型，在比较时，要紧密结合指数函数的性质，根据问题类型灵活地选用比较方法．下面就对这个题型的相关类型及相应方法做一归纳总结：
类型一 “同底不同指”型
思路分析：借助相应指数函数的单调性比较同底指数幂的大小，若底数含参则应注意分类讨论．
(2)a 0.5与a 0.6可看做指数函数y ＝a x 的两个函数值．
当0<a <1时，函数y ＝a x 在R 上是减函数．∵0.5<0.6，∴a 0.5>a 0.6； 当a >1时，函数y ＝a x 在R 上是增函数．∵0.5<0.6，∴a 0.5<a 0.6. 综上，当0<a <1时，a 0.5>a 0.6；当a >1时，a 0.5<a 0.6.
温馨提示：此类型比较大小问题，要先选定相关指数函数，再确定其单调性，然后依据单调性比较大小．当底数为参数时，要注意对其进行分类讨论．
类型二 “同指不同底”型
温馨提示：此类型比较大小问题，解法一采用作商法，并结合指数函数的性质解答．要注意作商前先对两个幂的符号进行判定．不同号时，正大负小，无作商的必要，同号时，若同为正，则依据分式的性质“由b a <1可得b <a ，由b
a >1可得
b >a ”来判定；若同为负，则依
据“由b a <1可得b >a ，由b
a
>1可得b <a ”来判定．解法二采用图象法，应注意指数函数底数
对图象位置的影响．
类型三“不同底不同指”型
温馨提示：此类型比较大小问题，一般采用媒介法，并结合指数函数性质判定，常用的“媒介”有0、1或一个中间函数值．
综上，指数幂比较大小常见类型有三种，常用方法有以下几种：运用指数函数图象、性质、作商法、媒介法．同学们在做题时要灵活运用．。