第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
2）极限载荷法
图中所示的一次静不定结构，各杆的横截面相同并均为理想
弹塑性材料，a >b 。设各杆均处于弹形变形状态时，杆1、杆2、
杆3的内力分别为 FN1、FN2、FN3 ，可以分析得到，在外力一定 时， FN1 FN2 FN3 。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料 2）理想刚塑性材料 3）线性强化材料 4）幂函数强化材料
ss
m
(14-6)
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 静不定桁架的极限载荷
由对14-1节中一次静不定桁架的分析可知，当其中一根杆 （多余约束的杆）屈服时，便变为静定杆件结构。此时增大载荷， 若再有一根杆屈服，结构便处于塑性极限状态。以此类推，对于 n 次静不定桁架，如果有 n+1 根杆屈服，该结构便处于塑性极限 状态。
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 1）弹塑性变形 2）极限载荷法
上述分析可知，对塑性材料制成的静不定结构或应力非均匀 分布的构件，当其危险点一点处相当应力达到材料屈服强度时， 整个构件或结构仍能继续承受更大的载荷。这样，极限应力法在 此已无法分析构件或结构发生弹塑性变形后的承载能力，需要研 究新的分析方法。
这样，静不定桁架的极限载荷可根据塑性极限状态时平衡条件求 得。
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14-3 静不定桁架的极限载荷
例 图示的静不定结构，由刚性梁 BE 与横截面面积分别为 的 A1、A2、 的A杆3 1、杆2、杆3组成，且， A 1A 3A 。,各A 2杆2 的A材料相 同，其拉、压屈服强度均为 。试求该 结s 构的极限载荷。
当外力增大使杆3屈服时，杆3已失去承载能力。由于杆2和 杆1尚未屈服，它们组成一静定结构，仍可继续承受增加的载荷。
直到杆2也 屈服，该结 构才去抵 抗变形能力 而成为几何 可变“机构”
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14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
2）极限载荷法 由于塑性变形所形成的几何可变“机构”，称为塑性机构。 使构件或结构变成塑性机构时的载荷称为极限载荷。 与塑性机构相应的状态称为塑性极限状态。 若以塑性极限状态作为构件或结构的危险状态，并用 Fu 表 示极限载荷，那么相应的强度条件应为
14-3 静不定桁架的极限载荷
例 图示的静不定结构，由刚性梁 BE 与横截面面积分别为 的 A1、A2、 的A杆3 1、杆2、杆3组成，且， A 1A 3A 。,各A 2杆2 的A材料相 同，其拉、压屈服强度均为 。试求该 结s 构的极限载荷。
杆3的轴力超过其屈服值 FN，3s 故这种状态不可能出现。 未屈2）服设。杆此1时与，杆载3已荷屈F服有 ，使杆刚2 性梁绕C点转动的趋势。
当其危险点一点处相当应力达到材料的屈服强度 s或0.2 时，
便认为整个构件或结构已处于极限状态而不能继续承受更大的载 荷。
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14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形
事实上，对塑性材料制成的应力非均匀 分布的构件或静不定结构，例如图中所示的
简支梁，当危险截面Ⅰ-Ⅰ上危险点A或B处
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料 2）理想刚塑性材料
0s
(p 0) (p 0)
(14-4)
p 为塑性应变
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14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料 2）理想刚塑性材料 3）线性强化材料
E E(s)s
(s) (s)
(14-5)
EE
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14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形
以前我们所研究的问题是限制在材料始终保持在线性弹性范 围内，外力、内力、应力、应变、变形与位移各量间不仅成线性 关系，而且还单值对应。对某一构件或结构在一定外力作用下必 产生确定的内力、应力、应变、变形与位移。这就是说，如果外 力增大n倍，其对应的内力、应力、应变、变形与位移也增大n倍。 这样，力作用的最终效果（例如产生的应变与变形等）只决定于 力的最终值，而与力作用的先后次序无关。在对构件或结构进行 强度计算时，采用极限应力法，即对塑性材料制成的构件或结构，
n次静不定结构的求解，需要n个补充条件。这里再加上欲 求的极限载荷，则共需要 n+1个补充条件。而当n次静不定桁架 处 于 塑 性 极 限 状 态 时 ， 已 屈 服 的 n+1 根 杆 的 内 力 成 为 已 知
（ F N i A i s (i 1 ,2 ,3 ,n 1 )），这恰好提供了n+1个补充条件。
解：一次静不定结构，有两根 杆屈服才进入塑性极限状态。 故有三种可能的极限状态。
1）设杆1与杆2已屈服，杆3 未屈服。此时，载荷 F有 使刚 性梁绕E点转动的趋势。
M E 0, M D 0
F3F N 1s2F N2s7As F N32F N 1sF N2s4As>F N3s
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应力等于材料的屈服强度 s或0.2 时，便
出现塑性变形。但是，由于Ⅰ-Ⅰ截面上应
力线性分布，整个截面除 A、B 两点外，其
它各点应力并没有达到 s或0.2 ，仍处于
弹形变性状态。此时，可继续增大载荷，梁 上会有更多的点进入塑性变形状态，形成了 塑性区域，梁进入了弹塑性变形状态。
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F [F u ]
(1 -14 )
式中 n 为安全系数
[F u]F n u
(1 -24)
采用式(14-1)来计算构件或结构发生塑性变形时的强度的方
法，称为极限载荷法。
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14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料
Es
(s) (s)
(14-3)
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14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形
材料进入塑性状态后，应力与应变之间不仅成非线性关系， 而且不一一对应。力对构件的作用效果不只取决于力的最终值， 而且还与力的作用历史以及作用的先后顺序有关。
以轴向拉压杆为例 先加 F1 后加 F2
先加 F 2 后加 F1
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