2 2 2
L
2
2
C
2
2
2
2
2
2
L
∂D
D
微积分 B(2)第 7 次习题课
L
3/3
（2） “ ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0 ， L 为 D 内任一闭曲线” 与“曲线积分 ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy 在 D 内与路径无关”等价； （3 ） “曲线积分 ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy 在 D 内与路径无关”与“存在可微函数 ϕ ( x, y) ，使 得 dϕ ( x, y) = P( x, y)dx + Q( x, y)dy 在 D 内成立”等价； ( x, y ) ∂P ( x, y ) （4） “曲线积分 ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy 在 D 内与路径无关”与“ ∂Q∂ = 在D内 x ∂y 成立”等价． 15． （平面向量场） 已知函数 f ( x) 具有连续导数，且 f (0) = 0 ．若曲线积分 ∫ xy dx + yf ( x)dy 与路径无关，
L L L
2
L
求 ∫ xy dx + yf ( x)dy 的值． 16． （平面向量场） 沿任一条不与坐标轴相交的曲线，计算曲线积分
(1,1) 2 (0,0)
∫
y y y y 1 − cos dx + sin + cos dy 2 x x x x x
L
2 2 2 2
t
t
t
2
2
2
2
∂f ( x, y ) 设 n 为 ∂D 的外向单位法向量，求极限 lim 1 − 1 dl ． cos t ∫ ∂n
t t →0 ∂Dt
． （曲线积分计算：化为定积分、格林公式、性质） 已知平面区域 D = {( x, y) 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π} ，求证： （1） ∫ xe dy − ye dx = ∫ xe dy − ye dx ； （2） ∫ xe 11． （曲线积分计算）
微积分 B(2)第 7 次习题课
微积分 B（2）第 7 次习题课 题目
1/3
． （曲线积分计算：化为定积分） 设有向曲线 L 为抛物线 y = x 上的一段，起点为 A(1,1) ，终点为 B(2, 4) ，计算曲线积分 I = ∫ ( x − 2 xy )dx + (2 xy − y )dy ． 2． （曲线积分计算） π π π π π 设有向折线段 L 由线段 AB 和 BC 构成，方向为 A( π , − ) → B ( , ) → C (− , ) ，计算 2 2 2 2 2 2 曲线积分 I = ∫ cos ydx − sin xdy ． （曲线积分计算：概念、格林公式） 3． 设正向闭曲线 C 的方程为 x + 2 y = 1 ，计算曲线积分 ∫ xdx++24yxd+y2 ． 4． （曲线积分计算：概念、化为定积分、牛顿—莱布尼兹公式） 设函数 f ( x, y) 具有一阶连续偏导数，曲线 L : f ( x, y) = 1 过第Ⅱ象限内的点 A( x , y ) 和第 Ⅳ象限内的点 B( x , y ) ，有向曲线 C 为 L 上从点 A 到点 B 的一段，长度为 m ，求下列积分 的值： （1） ∫ f ( x, y)dx ； （2） ∫ f ( x, y)dy ； （3） ∫ f ( x, y)dl ； （4） ∫ f ′( x, y)dx + f ′( x, y)dy ． 5． （曲线积分计算：格林公式） 设 a, b 为正常数，有向曲线 L 沿圆弧 y = 2ax − x 从点 A(2a,0) 到点 O(0, 0) ．计算曲线 积分 I = ∫ [e sin y − b( x + y)]dx + (e cos y − a x)dy ． 6． （曲线积分计算：格林公式） 设有向曲线 L 与曲线 xy = 1 ( x > 0, y > 0) 的交点为 A(4, 1 ) 和 B (1,1) ，两曲线所围区域的面 4 积为常 A ，计算曲线积分 I = ∫ e y dx + [e (1 + xy) + x]dy ． 7.（曲线积分计算） 已知 L 是第一象限中从点 (0, 0) 沿圆周 x + y = 2 x 到点 (2,0) ，再沿圆周 x + y = 4 到点
10
sin y
− sin x
− sin y
sin x
sin y
dy − ye − sin x dx
∂D
∂D
∂D
≥ 2π ．
2
x + y = 1, 设 L 是曲线 在第一卦限中的部分,方向是从点 (0,1, 4) 到点 (1, 0, 6) ，计算曲线 z = 2x + 4
2 2

积分 I = ∫ ydx − ( x + y + z )dz ． 12． （曲线积分计算） 设 C 是平面 x − y + z = 2 与柱面 x + y = 1 交线，从 z 轴正方向看去， C 为顺时针方向， 计算曲线积分 I = ∫ ( z − y)dx + ( x − z)dy + ( x − y)dz ． 13． （曲线积分计算） 设 L 是平面 x + y + z = 2 与柱面 x + y = 1 的交线，从 z 轴正向看去为逆时针方向．计算 曲线积分 I = ∫ ( y − z )dx + (2 z − x )dy + (3x − y )dz ． 14． （平面向量场） 设 P( x, y), Q( x, y) 具有一阶连续偏导数．以下哪些命题要求区域 D 是单连通域? ( x, y ) ∂P ( x, y ) （1） ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫∫ ( ∂Q∂ − )dσ ； x ∂y
1
2
(B) 2 2 L ( A) 2 2 L
C
1 1 2 2
C
C
C
C
x
y
2
x
x
L
(B)
xy
2
xy
L ( A)
2
2
2
2
微积分 B(2)第 7 次习题课
(0, 2)
2 3 L
2/3
的曲线段，计算曲线积分 I = ∫ 3x ydx + ( x + x − 2 y)dy ． 8． （曲线积分计算：概念、格林公式） 设 L 为简单光滑的平面封闭曲线， n 为 L 的外向单位法向量，求证： ∫ cos(n, j)dl = 0 ， 其中 (n, j) 是 n 与 y 轴正向的夹角． 9． （曲线积分计算：概念、格林公式、性质） 设 D = {( x, y) x + y ≤ t , t > 0} , f ( x, y) ∈ C (D ) 且在 D 上满足方程 ∂ f ( x, y ) ∂ f ( x, y ) 1 + = f ( x, y ) ， ∂x ∂y 2
2 2 2 2
∂D
L
2
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． （平面向量场）设函数 f ( x, y) 在平面 R 上存在连续偏导数，且只有唯一零点 O(0,0) ， − ydx 对任何包围 O(0,0) 的光滑正向闭曲线 C , 曲线积分 ∫ xdfy( x = m , m 为常数． , y) − ydx ★（1）证明：对任何不包围 O(0,0) 的光滑闭曲线 C , 曲线积分 ∫ xdfy( x = 0； , y) ★★（2）若 f ( x, y) = g ( x) + h( y) , 求 g ( x) 和 h( y) 的表达式．
2
C
C
．
． （平面向量场） 设函数 u( x, y) 在有界闭域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足 ∂ u ( x , y ) ∂ u ( x, y ) + = 0 ， ( x, y ) ∈ D ， u ( x, y ) ≡ A, ( x, y ) ∈ ∂D ． ∂x ∂y 记 ∂D 的外向单位法向量为 n ． （1）求曲线积分 ∫ u( x, y) ∂u(∂xn, y) dl 的值； （2）求证 u( x, y) ≡ A, ( x, y) ∈ D ． ★18． （平面向量场） 已知函数 f ( x) 具有一阶连续导数，且 f (1) = 1 ．设 L 是绕原点一周的任意正向闭曲线， x 若 ∫ xfd(yx)−+yd = A ，试求 f ( x) 及 A 的值． y