2010-2011-2学期《电磁场与电磁波》课程考试试卷参考答案及评分标准命题教师：李学军 审题教师：米燕一、判断题（10分）（每题1分）1. 旋度就是任意方向的环量密度 （ × ）2. 某一方向的的方向导数是描述标量场沿该方向的变化情况 （ √ ）3. 点电荷仅仅指直径非常小的带电体 （ × ）4. 静电场中介质的相对介电常数总是大于 1 （ √ ）5. 静电场的电场力只能通过库仑定律进行计算 （ × ）6. 理想介质和导电媒质都是色散媒质 （ × ）7. 均匀平面电磁波在无耗媒质里电场强度和磁场强度保持同相位 （ √ ）8. 复坡印廷矢量的模值是通过单位面积上的电磁功率 （ × ）9. 在真空中电磁波的群速与相速的大小总是相同的 （ √ ） 10 趋肤深度是电磁波进入导体后能量衰减为零所能够达到的深度 （ × ）二、选择填空（10分）1. 已知标量场u 的梯度为G ，则u 沿l 方向的方向导数为（ B ）。
A. G l ⋅B. 0G l ⋅ C. G l ⨯2. 半径为a 导体球，带电量为Q ，球外套有外半径为b ，介电常数为ε的同心介质球壳，壳外是空气，则介质球壳内的电场强度E 等于（ C ）。
A.24Q r π B. 204Q r πε C. 24Qr πε3. 一个半径为a 的均匀带电圆柱(无限长)的电荷密度是ρ，则圆柱体内的电场强度E 为（ C ）。
A. 22a E r ρε= B. 202r E a ρε= C. 02r E ρε=4. 半径为a 的无限长直导线，载有电流I ，则导体内的磁感应强度B 为（ C ）。
A.02I r μπ B. 02Ir a μπ C. 022Iraμπ 5. 已知复数场矢量0x e E =E ，则其瞬时值表述式为( B )。
A. ()0cos y x e E t ωϕ+B. ()0cos x x e E t ωϕ+C. ()0sin x x e E t ωϕ+ 6. 已知无界理想媒质(ε=9ε0, μ=μ0，σ=0)中正弦均匀平面电磁波的频率f=108 Hz ，则电磁波的波长为（ C ）。
A. 3 (m)B. 2 (m)C. 1 (m)7. 在良导体中平面电磁波的电场强度的相位比磁场强度的相位（ A ）。
A. 超前45度B. 滞后45度C. 超前0～45度 8. 复数场矢量()0jkz x y E e je e =-+E ，则其极化方式为( A )。
A. 左旋圆极化 B. 右旋圆极化 C. 线极化 9. 理想媒质的群速与相速比总是（ C ）。
A. 比相速大B. 比相速小C. 与相速相同 10. 导体达到静电平衡时，导体外部表面的场Dn 可简化为（ B ）。
A. Dn=0B. n s D ρ=C. n D q = 三、简述题（共10分）（每题5分）1．给出亥姆霍兹定理的简单表述、说明定理的物理意义是什么（5分）答：若矢量场F 在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和； （3分）物理意义：分析矢量场时，应从研究它的散度和旋度入手，旋度方程和散度方程构成了矢量场的基本方程。
（2分）2．写出麦克斯韦方程组中的全电流（即推广的安培环路）定律的积分表达式，并说明其物理意义。
（5分） 答：全电流定律的积分表达式为：d ()d lSt∂⋅=+⋅∂⎰⎰DH l J S 。
（3分） 全电流定律的物理意义是：表明传导电流和变化的电场都能产生磁场。
（2分）四、一同轴线内导体的半径为a ， 外导体的内半径为b , 内、外导体之间填充两种绝缘材料，a <r<r 0的介电常数为ε1，r 0<r<b 的介电常数为ε2， 如图所示， 求单位长度的电容。
（12分）解：设内、外导体单位长度带电分别为ρl 、-ρl ，内、外导体间的场分布具有轴对称性。
由高斯定理可求出内、外导体间的电位移矢量为2lr D e rρπ= （2分） 各区域的电场强度为101()2lrE e a r r r ρπε=<< （2分）202()2lrE e r r b rρπε=<< （2分）内、外导体间的电压为12b r baar U E dr E dr E dr =⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰ （2分）020111112l r b n n r a ρπεε⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2分） 因此，单位长度的电容为020121111l C rb U n n r b ρπεε==+ （2分）五、0B A(,ScB dS A dl r r ⋅=⋅=⎰⎰由无限长载流直导线的求矢为利用并取处为磁矢位的参考零点)。
（10分）解：设导线和z 轴重合。
用安培环路定律，0Cd I μ⋅=∑⎰B l （2分）可以得到直导线的磁感应强度为 02IB e rφμπ=（2分） 磁矢位的方向与电流的方向相同，选取矩形回路C ，如图所示。
在此回路上，磁矢位的线积分为zA d A h ⋅=-⎰l （2分）0000ln 222r r I Ih Ih dr r d drdz r r r μμμπππ⋅===⎰⎰⎰⎰SB S （2分）由计算公式d A d ⋅=⋅⎰⎰SB S l可得 ()00ln 2zIr A r r μπ=- （2分）六、空气中有两个半径相同(均等于a )的导体球相切，试用球面镜像法求该孤立导体系统的电容。
（14分）解：设两球各带电量为q ，左球电荷在右球的镜像电荷位于A 1处， 则，221'22a a a AA AA a === （2分）1122a q q q a =-=- （2分）右侧的q 在左面的导体球面也有一个镜像电荷，大小也是q 1，位于A 1’处。
由问题本身的对称性可知，左面的电荷总是与右侧分布对称。
仅分析右面的。
左面的q 1在右导体球上也要成像，这个镜像电荷记为q 2, 位于A 2处。
222'12/23a a aAA AA a a ===+ （1分） 21'113a q q q AA =-= （1分） 依此类推，有3411,45q q q q =-= （2分）因而，导体系统的总电荷为121112()21212234Q q q q q q n ⎛⎫=+++=-+-+= ⎪⎝⎭（2分）导体面的电位为004q U aπε=（2分）所以，这个孤立导体系统的电容为0812C a n πε= （2分）七、已知无源、自由空间中的电场强度矢量()sin y m E e E t kz ω=-求：（1）由麦克斯韦方程求磁场强度。
（6分） （2）求坡印廷矢量的时间平均值（5分） 解：（1）无源说明：J S =0;ρS ＝0 由麦克斯韦方程 BE t∂∇⨯=-∂ （2分） 得 00x y z y y y xzxye e e E E E B e e e x y z tzxzE ∂∂∂∂∂∂∂-==-+-∂∂∂∂∂∂∂＝()()cos x m e E k t kz ω=--－ （2分）解得 ()0sin mxkE H e t kz ωμω=-- （2分） （2）求坡印廷矢量的时间平均值0TE Hdt ⨯⎰av 1S ＝T()()00sin sin Tm y m x kE e E t kz e t kz dt ωωμω⎛⎫⎡⎤=-⨯-- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰1T ()2200sin T mz kE e t kz dt ωμω⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰1T （3分） 解得 2012mav z kE S e μω= （2分）八、电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的复数表达式为240()10(/)j z x y j e V m π--=-E e e试求：(1) 工作频率 f ;（8分） (2) 磁场强度矢量的复数表达式；（5分）解：(1) 根据真空中传播的均匀平面电磁波的电场强度矢量的复数表达式240()10(/)j z x y j e V m π--=-E e e40k π= （2分）8001310v με==⨯ （2分）220.0540k ππλπ=== （2分）由f v λ= 得893106100.05f Hz υλ⨯===⨯ （2分） 或()979004061022410/3610k f Hz ππμεπππ-===⨯⨯⨯(2) 磁场强度复矢量为2400011()10,j z z y x j e πηη--=⨯=+H e E e e （3分） 其中 000120μηπε== （2分）或 根据复数麦克斯韦方程0E j H ωμ∇⨯=-0011()()0xy zx y e e e H z E z j j x y z E E ωμωμ∂∂∂=-∇⨯=-∂∂∂()200110y jkzx y x y xE E jk e e e je e j z z j ωμωμ--∂⎛⎫∂-=--=-+ ⎪∂∂⎝⎭ 2400011()10j z z y x j e πηη--=⨯=+e E e e九、半径为a 、高为L 的磁化介质柱(如图所示)，磁化强度为M 0(M 0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流Jm 和磁化面电流Jms 。
（10分）解：取圆柱坐标系的z 轴和磁介质柱的中轴线重合， 磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L 处。
此时， 0z M M e =。
由磁化电流计算公式 m mS J MJ M n =∇⨯=⨯ （2分）得磁化电流为0()0m z J M M e =∇⨯=∇⨯=（2分）在界面z=0上，z n e =-0()0mS z z J M n M e e =⨯=⨯-=（2分）在界面z=L 上，z n e =00mS z z J M n M e e =⨯=⨯=（2分） 在界面r=a 上，r n e =00mS z r J M n M e e M e φ=⨯=⨯=（2分）。