2022年湖北省高考数学调研试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合P ＝{x |x ≥1，且x ∈N }，Q ＝{x |2x ≤8}，则P ∩Q ＝（ ）A ．{x |1≤x ＜4}B ．{x |1≤x ＜3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．（5分）欧拉公式e i θ＝cos θ+i sin θ（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）由瑞士数学家Euler （欧拉）首先发现．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则e i π＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i3．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点M （3，y ）到焦点F 的距离|MF |＝4，则抛物线的方程为（ ）A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝x4．（5分）某学校高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1600，1100，800，现用分层抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个学生样本测量学生的身高．如果在这个样本中，有高一年级学生32人，且测得高一年级、高二年级、高三年级学生的平均身高分别为160cm ，165cm ，170cm ．则下列说法正确的是（ ）A ．高三年级抽取的学生数为32人B ．高二年级每个学生被抽取到的概率为1100C ．所有年级中，高一年级每个学生被抽取到的概率最大D ．所有学生的平均身高估计要小于165cm5．（5分）函数f(x)=sinx −√3cosx ，先把函数f （x ）的图像向左平移π3个单位，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的12得到函数g （x ）的图像，则下列说法错误的是（ ） A ．函数g （x ）是奇函数，最大值是2B ．函数g （x ）在区间(−π6，π3)上单调递增C ．函数g （x ）的图像关于直线x =π4+kπ(k ∈Z)对称D ．π是函数g （x ）的周期6．（5分）已知|AB →|＝3，|BC →|＝2，|AB →−3BC →|＝6，则|AB →+CB →|＝（ ）A．4B．√10C．10D．167．（5分）已知a＝e﹣0.02，b＝0.01，c＝ln1.01，则（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的涂色部分的面积表示（）A．事件A发生的概率B．事件B发生的概率C．事件B不发生条件下事件A发生的概率D．事件A、B同时发生的概率二、多项选择：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝|x|+|x|12−cos x，则下列说法正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）在（0，+∞）上单调递减C．f（x）是周期函数D．f（x）≥﹣1恒成立（多选）10．（5分）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M，则下列说法正确的是（）A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D．记地震里氏震级为n（n＝1，2，…，9，10），地震释放的能量为a n，则数列{a n}是等比数列（多选）11．（5分）已知直线l：kx﹣y﹣k+1＝0，圆C的方程为（x﹣2）2+（y+2）2＝16，则下列选项正确的是（ ）A ．直线l 与圆一定相交B ．当k ＝0时，直线l 与圆C 交于两点M ，N ，点E 是圆C 上的动点，则△MNE 面积的最大值为3√7C ．当l 与圆有两个交点M ，N 时，|MN |的最小值为2√6D ．若圆C 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四个点，则四边形ABCD 的面积为48（多选）12．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的底面是边长为a 的正三角形，SA ⊥平面ABC ，P为平面ABC 内部一动点（包括边界）．若SA =a 2，SP 与侧面SAB ，侧面SAC ，侧面SBC 所成的角分别为α1，α2，α3，点P 到AB ，AC ，BC 的距离分别为d 1，d 2，d 3，那么（ ）A ．√d 1+√d 2+√d 3为定值B ．d 1+d 2+d 3为定值C ．若sin α1，sin α3，sin α2成等差数列，则d 1+d 2为定值D ．若sin α1，sin α3，sin α2成等比数列，则√d 1+√d 2为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若sin （π4−θ）=13，则cos2θsinθ+cosθ= ．14．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 关于它的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为 ．15．（5分）已知函数f （x ）＝x +1x （x ＞0），若f(x)(f(x))2+a 的最大值为25，则正实数a ＝ ． 16．（5分）若函数f （x ）的定义域为R ，对任意的x 1，x 2，当x 1﹣x 2∈D 时，都有f （x 1）﹣f （x 2）∈D ，则称函数f （x ）是关于D 关联的．已知函数f （x ）是关于{4}关联的，且当x ∈[﹣4，0）时，f （x ）＝x 2+6x ．则：①当x ∈[0，4）时，函数f （x ）的值域为 ；②不等式0＜f （x ）＜3的解集为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =3S n −2(n ∈N ∗)．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：对任意的m ∈N *，S m ，S m +2，S m +1成等差数列．18．（12分）在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ﹣b −c 2=0．（1）求A ；（2）若a =√3，求b +2c 的取值范围．19．（12分）如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ，E ，F 分别为线段PB ，BC 上的动点．（1）若E 为线段PB 的中点，证明：平面AEF ⊥平面PBC ；（2）若BE =√2BF ，且平面AEF 与平面PBC 所成角的弦值为√714，试确定点F 的位置．20．（12分）微信小程序“党史知识竞赛”中的“答题竞赛”板块有个“双人竞赛”栏目，可满足两人通过回答多个问题的形式进行竞赛．甲，乙两单位在联合开展党史学习教育特色实践活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记﹣1分，设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为45，乙单位全部答对的概率为23，甲，乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响．（1）经过1轮比赛，设甲单位的记分为X ，求X 的分布列和期望；（2）若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点A （0，1），且右焦点为F （1，0）．（1）求C 的标准方程；（2）过点（0，12）的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点P ．Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ．证明：以MN 为直径的圆过y 轴上的定点．22．（12分）已知函数f(x)=lnx +2x −2，g （x ）＝xlnx ﹣ax 2﹣x +1（1）证明：函数f （x ）在（1，+∞）内有且仅有一个零点；（2）假设存在常数λ＞1，且满足f （λ）＝0，试讨论函数g （x ）的零点个数．2022年湖北省高考数学调研试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合P＝{x|x≥1，且x∈N}，Q＝{x|2x≤8}，则P∩Q＝（）A．{x|1≤x＜4}B．{x|1≤x＜3}C．{1，2}D．{1，2，3}【解答】解：集合P＝{x|x≥1，且x∈N}＝{1，2，3，4，5，•}，Q＝{x|2x≤8}＝{x|x≤3}，∴P∩Q＝{1，2，3}．故选：D．2．（5分）欧拉公式e iθ＝cosθ+i sinθ（e为自然对数的底数，i为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则e iπ＝（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【解答】解：e iπ＝cosπ+i sinπ＝﹣1．故选：A．3．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（3，y）到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为（）A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（3，y）到焦点F的距离|MF|＝4，可得：3+p2=4，解得p＝2，所以抛物线方程为：y2＝4x．故选：B．4．（5分）某学校高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1600，1100，800，现用分层抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个学生样本测量学生的身高．如果在这个样本中，有高一年级学生32人，且测得高一年级、高二年级、高三年级学生的平均身高分别为160cm，165cm，170cm．则下列说法正确的是（）A．高三年级抽取的学生数为32人B．高二年级每个学生被抽取到的概率为1100C．所有年级中，高一年级每个学生被抽取到的概率最大D ．所有学生的平均身高估计要小于165cm【解答】解：高三年级抽取的学生数为32×8001600=16人，故选项A 错误；高二年级每个学生被抽取到的概率为321600=150，故选项B 错误；所有年级中，每个学生被抽取到的概率相同，故选项C 错误；1600+1100+800＝3500，所有学生的平均身高估计值为160×16003500+165×11003500+170×8003500≈163.9， 故选项D 正确；故选：D ．5．（5分）函数f(x)=sinx −√3cosx ，先把函数f （x ）的图像向左平移π3个单位，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的12得到函数g （x ）的图像，则下列说法错误的是（ ） A ．函数g （x ）是奇函数，最大值是2B ．函数g （x ）在区间(−π6，π3)上单调递增C ．函数g （x ）的图像关于直线x =π4+kπ(k ∈Z)对称 D ．π是函数g （x ）的周期【解答】解：f(x)=sinx −√3cosx =2sin （x −π3），把函数f （x ）的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x 的图象，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的12得到函数g （x ）＝2sin2x 的图象，对于A ：函数g （x ）为奇函数，函数的最大值为2，故A 正确；对于B ：当x ∈(−π6，π3)，所以2x ∈(−π3，2π3)，故函数在该区间上不单调，故B 错误； 对于C ：当x =π4+kπ(k ∈Z)，2x ＝2k π+π2（k ∈Z ），对称，故C 正确； 对于D ：根据函数g （x ）的性质，函数的最小正周期为π，故D 正确．故选：B ．6．（5分）已知|AB →|＝3，|BC →|＝2，|AB →−3BC →|＝6，则|AB →+CB →|＝（ ）A ．4B ．√10C ．10D ．16 【解答】解：根据题意，设AB →与CB →的夹角为θ，若|AB →|＝3，|BC →|＝2，|AB →−3BC →|＝6，即|AB →+3CB →|＝6，则有（AB →+3CB →）2=AB →2+9CB →2+36AB →•CB →=9+36+36cos θ＝36，变形可得cos θ=−14，故（AB →+CB →）2=AB →2+CB →2+2AB →•CB →=9+4﹣3＝10，所以|AB →+CB →|=√10；故选：B ．7．（5分）已知a ＝e﹣0.02，b ＝0.01，c ＝ln 1.01，则（ ） A ．c ＞a ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．b ＞c ＞a 【解答】解：∵e ﹣0.02＞e −12=√e √30.01，∴a ＞b ， 设f （x ）＝e x ﹣1﹣x ，则f ′（x ）＝e x ﹣1，∴函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴f （0.01）＞f （0），即e 0.01＞1.01，∴0.01＞ln 1.01，∴b ＞c ，∴a ＞b ＞c ，故选：C ．8．（5分）若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）A ．事件A 发生的概率B ．事件B 发生的概率C ．事件B 不发生条件下事件A 发生的概率D ．事件A 、B 同时发生的概率【解答】解：由图可知：如图所示的涂色部分的面积表示“事件B 不发生条件下事件A 发生的概率”与“事件B 发生条件下事件A 发生的概率”的和事件，即如图所示的涂色部分的面积表示事件A 发生的概率，故选：A ．二、多项选择：本题共4小题，每小题5分，共20分。