数学万花筒(1)数学悖论与数学的发展
【什么是数学悖论？】
“悖论(Paradox)”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比.悖论有三种主要形式.
1.一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的(佯谬).
2.一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了(似是而非的理论).
3.一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾.
“悖论是无意义的！”“悖论没有任何作用！”这也许是某些人的看法.但是，请不要小看悖论，它直接导致了——
【三次数学危机】
祸起萧蔷——
古希腊人是一个喜欢思考且善于思考的民族.他们一直以为，任何两条线段，一定存在一把尺子，可以整量这两个线段，称之为可“公度”.这样任何线段的长度，就都可以用有理数来表示.且当时希腊的数学均以此为基础.不料，毕达哥拉斯学派中的一个成员希帕索斯提出了这样一个问题：边长为1的正方形，其对角线的长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示.希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的“风暴”.它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌.时至今日，还留有当初人们的不解和无奈——称等数为无理数(没有道理的数).这一伟大发现，虽然对当时所有古希腊人的观念是一个极大的冲击.但同时，也极大地激发了他们探讨两线段长度之比含义的浓厚兴趣.古希腊人的这个发现影响至今，是人类文明史上的一个重要里程碑.它推动了人们对实数本质的认识.
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数.这可是为当时人们的经验所确信的，完全符合常识的论断!可现在居然被小小的存在给推翻了！这应该是多么违反常识，多么不可思议的事啊！这场数学史上的风波，史称“第一次数学危机”.过了两千多年，数学家们通过建立实数理论体系，才从根本上平息了这场危机.
不明就里——无穷小
微积分这一数学利器，也有着艰难的发展历程.第二次数学危机源于微积分.伴随着人们科学理论与实践认识的提高，在十七世纪的几乎同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现.它一经问世，就显示出其非凡威力.许许多多疑难问题运用这一工具后就变得易如反掌.但是，不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的.两人的理论都是建立在无穷小分析之上的.但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的.因而，从微积分诞生之时，就遭到了一些人的反对与攻击.其中最猛烈的是英国大主教贝克莱.
贝克莱指责牛顿：为计算x2的导数，先将x取一个不为0的增量Δx ，由(x +Δx)2–x2，得到2xΔx +(Δx)2，后再被Δx除，得到2x +Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得导数为2x .而无穷小量,在牛顿的理论中一会儿说是0，一会儿又说不是0.就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0.但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾.这一问题的提出，在当时数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的爆发.
后来,几代数学家不顾基础的不严格，论证的不严密，更多地依赖于直观去开创新的数学领地.然而粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面不断加剧.
无穷级数S＝1－1＋1－1＋1…到底等于什么？
当时人们认为一方面S＝(1－1)＋(1－1)＋ 0
另一方面，S＝1＋(1－1)＋(1－1)＋ (1)
这样一来，就导致了 0＝1这一矛盾等式的出现，而这一矛盾等式竟使像傅立叶这样顶尖的数学家也困惑不已.甚至连被后人称之为数学英雄的欧拉，在此也犯下难以饶恕的错误.
他在得到 1 + x + x2+ x3+ …=后，令x=－1，得出S＝1－1＋1－1＋1…＝
由此不难看出，当时数学界的混乱局面. 在十八世纪之前，人们对无穷级数的和不知所措.其根本原因是没有建立微积分的坚实理论基础.这次危机与第一次危机之间有着密不可分的联系.说到底，是没能弄清什么是实数.在这之后，柯西、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，重建了微积分学基础.给出了什么是实数的合理解释.微积分学坚实、牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决.
难圆其说——罗素问
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论.在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击.但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉.数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦.因而集合论成为了现代数学的基石.
1903年，英国数学家罗素指出：集合论是有漏洞的！罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成.然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合.因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的.但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地.如果S属于S，根据S的定义，S 就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S.无论如何都是矛盾的.罗素对此有一个通俗的比喻.人称“理发师悖论”：某理发师声称，他给那些自己不能刮脸的人刮脸，但是，不给那些自己刮脸的人刮脸.有人问“那你自己呢？”理发师沉思良久，仍无言以对.如果他是自己刮脸，他就不应该自己刮脸；如果他自己不刮脸，他就必须自己给自己刮脸.这就陷入了深深的矛盾之中.这一悖论就象在平静的数学湖面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响，则导致了第三次数学危机.后来，数学家们引进了“选择公理”，建立了公理化集合系统，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地化解了第三次数学危机.
由此不难看出，数学悖论在推动数学发展过程中的巨大作用.而这或许就是数学悖论的重要意义之所在——不断地使数学精准化化，完美化.
趣味问题
阿吉利斯悖论（Achilles Paradox）——人龟赛跑这是由古希腊哲人芝诺（Zenon of Eleates）提出的一个经典悖论.阿吉利斯是古希腊神话中善跑如飞的英雄.阿吉利斯悖论：如果乌龟先跑，让阿吉利斯追赶乌龟.他将永远追不上乌龟.
因为无论阿基利斯跑得多快，他必须先跑完从他出发的起点到乌龟当下距离的一半，等他赶完这段路程，乌龟又往前挪动了一些，他则必须再追其间的一半，如此一来，永无止境.尽管阿基里斯会离乌龟越来越近，但他始终不可能追上前面的乌龟.比方说，阿吉利斯的速度是乌龟的10倍，龟在前面100米处，当阿吉利斯跑了100米到乌龟出发点时龟已向前走了10
米，阿氏追10米，龟又走了1米，阿氏再追1米，龟又向前走了0.1米……这样永远隔一小段距离，所以总也赶不上.
真的吗？说说你的看法？。