1.4
1.5
1.6
实例
如果采用二次拟合，通过计算下述均方误差：
m
m
Q(a0 , a1, a2 ) ( p(ti ) pi )2 (a0 a1ti a2ti2 pi )2
i 1
i 1
拟合得二次方程为：
1.0
（1-9）
p 0.24845 0.00957 t 0.00015 t 2
0.8
1.3.1 单变量拟合
线性拟合
整理得到拟合曲线满足的方程：
m
m
ma ( xi )b yi
i 1
i 1
m
m
m
(
i1
xi )a (
i 1
xi2 )b
i 1
xi yi
(1-12)
或
m
m
xi
m
m
i1 m
xi xi2
a b
yi i1
m
xi yi
称式(1-12)为拟合曲线 的法方程。
i 1
i 1
0.6
拟合得到得直线方程为：
p
0.4
p 0.30324 0.0121t
(1-8)
0.2
相关系数R
-20
-10
0
10
20
30
40
50
平均绝对偏差SD为0.05065。
图1-3
DME饱和蒸汽t 压和温度之间的 线性拟合
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1.1
1.2
1.3
1.2 拟合的标准
i1
i1
i1
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1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.3.1 单变量拟合
线性拟合
可用消元法或克莱姆方法解出方程：
R max (xi ) yi 1im
（3）用各点误差的平方和表示
m
R R2 ( ( xi ) yi )2 或 i 1
R称为均方误差
(1-5)
R Q(x)-Y 2 (1-6) 2
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1.5
1.6
1.2 拟合的标准
由于计算均方误差的最小值的原则容易实 现而被广泛采用。按均方误差达到极小构 造拟合曲线的方法称为最小二乘法。同时 还有许多种其他的方法构造拟合曲线，感 兴趣的读者可参阅有关教材。本章主要讲 述用最小二乘法构造拟合曲线。
序号
1
2
温度 T 10
20
转化率 y 0.1 0.3
3
4
5
6
7
8
30
40
50
60
70
80
0.7 0.94 0.95 0.68 0.34 0.13
表1-1
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1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.1 问题的提出
确定在其他条件不变的情况下，转化率y和 温度T的具体关系，现拟用两种模型去拟合 实验数据，两种模型分别是：
m
m
Q(a, b) ( p(xi ) yi )2 (a bxi yi )2
i 1
i 1
（1-11）
Q (a , b)的极小值需满足：
Q(a, b)
a
m
2
i 1
(a
bxi
yi
)
0
Q(a, b)
b
m
2
i 1
(a bxi
yi )xi
0
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1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
由表1-2的数据观测可得，DME的饱和蒸汽压和温 度有正相关关系。
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1.1
1.2
1.3
1.2 拟合的标准
1.4
1.5
1.6
实例
如果以直线拟合p=a+bt,即拟合函数是一条直线。 通过计算均方误差Q ( a , b )最小值而确定直线方 程（见图1-3）
1.0
m
m
Q(a, b) ( p(ti ) pi )2 (a bti pi )2 (1-7) 0.8
（1-10）
0.6
压 力, P(MPa)
相关系数为R为0.99972， 平均绝对偏差SD为0.0056。 具体拟合曲线见图1-4
0.4 y=0.24845+0.00957 x+0.00015 x2
0.2
0.0
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
温度 , t(℃ )
图1-4 DME饱和蒸汽压和温度之间的
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1.2
1.3
1.4
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1.6
1.3 单变量拟合和多变量拟合
1.3.1单变量拟合
1.3.2 多变量的曲线拟合
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1.3.1 单变量拟合
线性拟合
给定一组数据（xi,yi）,i=1, 2 , …, m ，做拟合直线 p (x)=a + bx , 均方误差为 ：
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1.3
1.2 拟合的标准
1.4
1.5
1.6
实例
实验测得二甲醇（DME）的饱和蒸汽压和 温度的关系如下表 ：
序号
温度 ℃
蒸气压 MPa
1
-23.7
0.101
2
-10
0.174
3
0
0.254
4
10
0.359
5
20
0.495
6
30
0.662
7
40
0.880
表1-2 DME饱和蒸气压和温度的关系
二次拟合
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1.2
1.3
1.2 拟合的标准
1.4
1.5
1.6
实例
比较图1-3和图1-4以及各自的相关系数和平均绝对 偏差可知：
对于DME饱和蒸汽压和温度之间的关系，在实验 温度范围内用二次拟合曲线优于线性拟合。
二次拟合曲线具有局限性，由图1-4观察可知，当 温度低于-30℃时，饱和压力有升高的趋势，但在 拟合的温度范围内，二次拟合的平均绝对偏差又小 于一次拟合，故对物性数据进行拟合时，不仅要看 在拟合条件下的拟合效果，还必须根据物性的具体 性质，判断在拟合条件之外的物性变化趋势，以便 使拟合公式在已做实验点数据之外应用。
1.1
1.2
1.3
1.1 问题的提出
化工设计及化工模拟 计算中，有大量的物 性参数及各种设备参 数。实验测量得到的 常常是一组离散数据 序列（xi ,yi）
图1-1所示为“噪声”
图1-2所示为无法同时 满足某特定的函数
Y
Y
1.4
1.5
1.6
200
150
100
50
0
-2
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
X
图1-1 含有噪声的数据
20
15
10
5
0 0
图1-2
2
4
6
8
10
X
无法同时满足某特定函数的数据序列
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1.1
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1.3
1.4
1.5
1.6
1.1 问题的提出
在化学化工中，许多模型也要利用数据拟合技术， 求出最佳的模型和模型参数。
如在某一反应工程实验中，我们测得了如表1-1所示 的实验数据：
y a1 b1T c1T 2
(1-2)
y
a2
c2 b2 (T
45)2
(1-3)
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1.6
1.2 拟合的标准
向量Q与Y之间的误差或距离有以下几种定义方法：
（1）用各点误差绝对值的和表示
m
R1 (xi ) yi
(1-4)
（2）用各i点1 误差按绝对值的最大值表示