数据模型与决策课程案例一生产战略
一、问题提出
好身体公司（BFI）在长岛自由港工厂生产健身练习器械。
最近他们设计了两种针对家庭锻炼所广泛使用的举重机。
两种机器都是用了BFI专利技术，这种技术提供给使用者除了机器本身运动功能之外的一些其他额外的运动功能。
直到现在，这种功能也只有在很昂贵的、应用于理疗的举重机上才可以获得。
在最近的交易展销会上，举重机的现场演示引起了交易者浓厚的兴趣，实际上，BFI现在收到的订单数量已经超过了这个时期BFI的生产能力。
管理部门决定开始这两种器械的生产。
这两种器械分别被BFI 公司命名为BodyPlus100和BodyPlus200，由不同的原材料生产而成。
BodyPlus100由一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置组成。
生产一个框架需要4小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间；每个压力装置需要2小时机器制造和焊接时间，1小时喷涂和完工时间，每个提升一下拉装置需要2小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间。
另外，每个BodyPlus100还需要2小时用来组装、测试和包装。
每个框架的原材料成本是450美元，每个压力装置的成本是300美元，每个提升一下拉装置是250美元。
包装成本大约是每单位50美元。
BodyPlus200包括一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置和一个腿部拉伸装置。
生产一个框架需要5小时机器制造和焊接时间，4小时喷涂和完工时间；生产一个压力装置需要3小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间；生产每个提升一下拉装置需要2小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间，另外，每个BodyPlus200还需要2小时用来组装、测试和包装。
每个框架的原材料成本是650美元，每个压力装置的成本是400美元，每个提升一下拉装置是250美元，每个腿部拉伸装置的成本是200美元。
包装成本大约是每单位75美元。
在下一个生产周期，管理部门估计有600小时机器和焊接时间，450小时喷涂和完工时间，140小时组装、测试和包装时间是可用的。
现在的每小时劳动力成本是机器制造和焊接时间20美元，喷涂和完工时间15美元，组装、测试和包装12美元。
虽然对于BFI来说由于新机器的独特功能可能还会获得一些价格的灵活性，但BodyPlus100的市场建议价格是2400美元，BodyPlus200是3500美元。
授权的BFI销售商可以以市场价格的70%来购买产品。
BFI的总裁相信BodyPlus200 的独特功能可以帮助BFI 成为高端锻炼器械的领导者。
所以，他认为BodyPlus200的数量至少会占到整个生产数量的25%。
管理报告
分析BFI的生产问题，为公司的总裁准备一份报告，告诉他们你的发现和建议。
报告包括以下几个方面（不仅于此）：
（1）BodyPlus100和BodyPlus200的建议生产数量是多少？
（2）BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？
（3）为了增加利润应扩展哪方面的努力？
把你的线性规划模型和图形解作为你报告的附录部分。
二、问题分析与模型建立
根据案例对好身体公司（BFI）两种器械产品BodyPlus100和BodyPlus200的描述，用表格形式列举出该两种产品的各项基本信息，表格如下：
框架 4 2 5 4 450 650 压力装置 2 1 3 2 300 400 提升/下拉 2 2 2 2 250 250 组装 2 2
腿拉200 包装50 75 总共用时(h) 8 5 10 8
总成本(美元) 1050 1575
机器/焊接(h）600
劳动成本
(美元/h) 20
喷涂/完工(h) 450 15
组、测、包(h) 140 12
售价(美元) 2400 3500 表1.1
（1）BodyPlus100和BodyPlus200的建议生产数量是多少？
设BodyPlus100的建议生产数量是x1，BodyPlus200的建议生产数量是x2,总利润是Z，则目标函数：maxz=2400x1+3500x2—20(8x1+10x2)—15(5x1+8x2)—12(2x1+2x2)
=2141x1+3156x2
约束条件：8x1+10x2 ≤ 600
5x1+8x2 ≤450
2x1+2x2 ≤140
x1，x2 ≥ 0
（2）BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？
设BodyPlus100的建议生产数量是x1，BodyPlus200的建议生产数量是x2,总利润是Z，则目标函数：maxz=2400x1+3500x2—20(8x1+10x2)—15(5x1+8x2)—12(2x1+2x2)
=2141x1+3156x2
约束条件：8x1+10x2 ≤ 600
5x1+8x2 ≤450
2x1+2x2 ≤140
x1 -3x2 ≤0
x1，x2 ≥ 0
3、模型求解与结果解释
根据已经建立的模型，运用图解法对该问题进行求解。
建立直角坐标系，用横轴代表x1，纵轴代表x2。
（1）BodyPlus100和BodyPlus200的建议生产数量是多少？
根据问题（1）约束条件：
作8x1+10x2 = 600直线，令x1=0，则x2=60；令x2=0，则x1=75
同理，作5x1+8x2=450， 2x1+2x2=140两直线
得图形如下：
2x1+2x2=140
180
135
90
45
45 90 135 180
5x1+8x2=450
8x1+10x2 = 600
图1.1
由图可知，阴影部分即为可行域范围，
且当x1=150/7，y=300/7时，z最大，此时maxz=181135.7
可得最优解为：x1=150/7，y=300/7
综上所述，建议生产BodyPlus100产品21台，生产BodyPlus200产品43台。
该生产建议下各项约束条件情况如下：
表1.2
（2）BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？
根据问题（2）的约束条件，即在问题（1）的基础上增加 x1-3x2 ≤0这一项约束条件。
因此，我们在图1.1的基础上增加x1-3x2 =0直线，
令x1=0，则x2=0；令x1=90，则x2=30
得到图形如下：
由图可知，阴影部分即为可行域范围。
对比图1.1和图1.2可行域范围明显减小。
当由此约束条件的情况下，当x1=150/7，y=300/7时，z最大，此时
maxz=181135.7
可得最优解为：x1=150/7，y=300/7
此时的建议生产量仍为BodyPlus100产品21台，生产BodyPlus200产品42台。
综上所述，有BodyPlus200的产量比例约束时最大利润无影响。
（3）为了增加利润应扩展哪方面的努力？
根据表1.2，在最优解情况下各项约束条件情况来看，可以得出如下结论：
1. 机器/焊接所用时间仅比可用时间少2小时；
2. 喷涂/完工所用时间仅比可用时间少1小时；
3. 组、测、包所用时间比可用时间少12个小时，在其他条件允许的情况下可以再组装6台器械。
针对上述结论，为增加利润提出如下建议：
1. 增加机器制造和焊接时间的可用时间；
2. 增加喷涂和完工的可用时间。
4、参考文献
[1] 侯文华等译，数据、模型与决策：管理科学篇．北京：机械工业出版社，2012
数据模型与决策课程案例二投资战略
一、问题提出
J.D.威廉姆斯公司是一个投资质询公司，为大量的客户管理高达 1.2 亿美元的资金。
公司运用一个很有价值的模型，为每个客户安排投资，分别投资在股票增长基金、收入基金和货币市场基金。
为了保证客户投资的多元化，公司对这三种投资的数额加以限制。
一般来说，投资在股票方面的资金占总投资20%-40%之间，投资在收入基金上的资金应确保在 20%-50%之间，货币市场方面的投资至少应该占30%。